Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA丄底面ABCD，AE丄PD于E，EF∥CD交PC于F，點M在AB上，且AM=EF．
（I）求證MF是異面直線AB與PC的公垂線；
（II）若PA=2AB，求二面角E-AB-D的正弦值．
（III）在（II）的條件下求點C到平面AMFE的距離．

Answer 1

分析：（I）利用矩形，以及直線與直線的判定定理證明AM⊥MF，MF⊥PC，推出MF是AB與PC的公垂線；
（II）先判斷∠EAD為二面角E-AB-D的平面角，再利用PA=2AB，可得二面角E-AB-D的正弦值；
（III）根據EF∥CD，可得點C到平面AMFE的距離等于D到平面AMFE的距離，證明DE為D到平面AMFE的距離，即可求得結論．

解答：（I）證明：因為PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB，
又AB⊥AD，PA∩AD=A
∴AB⊥面PAD，
∵AE?面PAD，
∴BA⊥AE，
又AM∥CD∥EF，且AM=EF，
∴AEFM是矩形，∴AM⊥MF．
又因AE⊥PD，AE⊥CD，PD∩CD=D，故AE⊥面PCD，
∵MF∥AE，∴MF⊥面PCD，
∴MF⊥PC，
∴MF是AB與PC的公垂線．
（II）解：由（I）知AB⊥面PAD，∴∠EAD為二面角E-AB-D的平面角
∵PA⊥AD，AE⊥PD，∴∠EAD=∠APD
∵PA=2AB，∴sin∠APD=

AD

PD

=

5

5

∴二面角E-AB-D的正弦值為

5

5

．
（III）解：∵EF∥CD，∴點C到平面AMFE的距離等于D到平面AMFE的距離．
∵DE⊥AE，DE⊥AB，AE∩AB=A
∴DE⊥平面AMEF
∴DE為D到平面AMFE的距離．
在直角△AED中，sin∠EAD=DE=

5

5

∴點C到平面AMFE的距離等于1．

點評：本題是中檔題，考查異面直線的公垂線的證明，平面與平面所成角的正弦值的求法，考查點面距離的計算．