Question

2002年底某縣的綠化面積占全縣總面積的40%，從2003年開始，計劃每年將非綠化面積的8%綠化，由于修路和蓋房等用地，原有綠化面積的2%被非綠化．
（1）設該縣的總面積為1，2002年底綠化面積為a₁=

4

10

，經過n年后綠化的面積為a_n+1，試用a_n表示a_n+1；
（2）求數列{a_n}的第n+1項a_n+1；
（3）至少需要多少年的努力，才能使綠化率超過60%．（lg2=0.3010，lg3=0.4771）

Answer 1

分析：（1）當年的綠化面積等于上年被非綠化后剩余面積加上新綠化面積，設出現有非綠化面積和經過n年后的綠化面積，得到兩個數列之間的關系，把組成a_n+1的兩部分寫出來，得到遞推式．
（2）根據所給的數列的遞推式，湊出一個等比數列，根據等比數列的首項和公比，寫出這個數列的通項．
（3）由題意知本題需要解a_n+1＞60%，代入數列 的通項，要求的變量在指數位置，這種題目一般需要兩邊取對數，根據所給的兩個特殊的對數值，得到結果，根據實際意義得到n的整數．

解答：解：（1）設現有非綠化面積為b₁，經過n年后非綠化面積為b_n+1．
于是a₁+b₁=1，a_n+b_n=1．
依題意，a_n+1是由兩部分組成，一部分是原有的綠化面積a_n減去被非綠化部分

2

100

a_n后剩余的面積

98

100

a_n，
另一部分是新綠化的面積

8

100

b_n，于是
a_n+1=

98

100

a_n+

8

100

b_n=

98

100

a_n+

8

100

（1-a_n）
=

9

10

a_n+

2

25

．
（2）a_n+1=

9

10

a_n+

2

25

，a_n+1-

4

5

=

9

10

（a_n-

4

5

）．
數列{a_n-

4

5

}是公比為

9

10

，首項a₁-

4

5

=

4

10

-

4

5

=-

2

5

的等比數列．
∴a_n+1=

4

5

+（-

2

5

）（

9

10

）ⁿ．
（3）由題意得到a_n+1＞60%，

4

5

+（-

2

5

）（

9

10

）ⁿ＞

3

5

，（

9

10

）ⁿ＜

1

2

，
n（lg9-1）＜-lg2，
n＞

lg2

1-2lg3

≈6.5720．
至少需要7年，綠化率才能超過60%．

點評：本題考查等比數列的通項，考查由數列的遞推式求數列的通項式，考查解關于對數式的不等式，考查用數列知識解決實際問題．