Question

已知P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)是拋物線y²=2px(p>0)上不同的兩點,則y₁·y₂=-p²是直線PQ通過拋物線焦點的(    )

A．充分不必要條件	B．充要條件
C．必要不充分條件	D．既不充分又不必要條件

Answer 1

B

當x₁=x₂時,顯然為充要條件.
當x₁≠x₂時,設直線PQ的斜率為k,
若過焦點,則直線AB的方程為y=k(x-),代入拋物線方程并化簡得y²-y-p²=0.
∴y₁·y₂=-p².
若y₁·y₂=-p²,由于P、Q為拋物線上?的點,故y₁²=2px₁,y₂²=2px₂.
∴.
從而直線AB的方程為y-y₁=(x-x₁).
令y=0,得-y₁²+p²=2px-2px₁.
又y₁²=2px₁,∴x=,即直線AB過(,0)點.
綜上分析知為充要條件.