Question

在平面幾何里，有：“若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c內(nèi)切圓半徑為r，則三角形面積為S_△ABC=

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2

（a+b+c）r”，拓展到空間，類比上述結(jié)論，“若四面體A-ACD的四個(gè)面的面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄內(nèi)切球的半徑為r，則四面體的體積為

 

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Answer 1

分析：根據(jù)平面與空間之間的類比推理，由點(diǎn)類比點(diǎn)或直線，由直線 類比 直線或平面，由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結(jié)合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可．

解答：解：設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，
則球心O到四個(gè)面的距離都是R，
所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，
分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和．
則四面體的體積為V四面體A-BCD=

1

3

(S1+S2+S3+S4)r
故答案為：

1

3

（S₁+S₂+S₃+S₄）r．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查類比推理．類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去．一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性．②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（或猜想）．