Question

如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，∥，，平面⊥底面，為的中點，是棱上的點，，，．

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；
（Ⅱ）若為棱的中點，求異面直線與所成角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）異面直線與所成角的余弦值為

試題分析：（Ⅰ）證兩平面垂直，先證一個面內的一條直線垂直另一個平面.
在本題中可證得：平面，也可證：⊥平面．
（Ⅱ）法一、由（Ⅰ）題可得：直線、、兩兩垂直，故可以為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量求異面直線與所成角的余弦值．
法二、可過作的平行線，從而將異面直線與所成角轉化相交直線所成的角.
試題解析：（Ⅰ）法一：為的中點，
又即
∴四邊形為平行四邊形，
     即
又∵平面平面  且平面平面
平面
又平面，∴平面平面                    6分
法二：，，為的中點，∴且.
∴四邊形為平行四邊形，∴
∵ ∴即
∵  ∴ 
∵ ，
∴⊥平面．
∵ 平面，
∴平面⊥平面．               6分
（Ⅱ）∵，為的中點，
∴．
∵平面平面  且平面平面
∴平面．                                          8分
（注:不證明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）
如圖，以為原點建立空間直角坐標系．

則，，，，
∵是中點，∴  
∴
設異面直線與所成角為
則=
∴異面直線與所成角的余弦值為                     14分
法二、連接交于點，連接，則
所以就是異面直線與所成角


由（1）知平面，所以進而