Question

（A題）如圖，在橢圓

x2

a2

+

y2

8

=1（a＞0）中，F₁，F₂分別是橢圓的左右焦點，B，D分別為橢圓的左右頂點，A為橢圓在第一象限內弧上的任意一點，直線AF₁交y軸于點E，且點F₁，F₂三等分線段BD．
（1）若四邊形EBCF₂為平行四邊形，求點C的坐標；
（2）設m=

S△AF1O

S△AEO

，n=

S△CF1O

S△CEO

，求m+n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由F₁，F₂三等分線段BD，得|F₁F₂|=

1

3

|BD|，即2c=

1

3

•2a①，又a²=b²+c²②，b²=8③，聯立方程組即可求得a，c值，從而可得F₁坐標為（-1，0），由四邊形EBCF₂為平行四邊形及F₁為BF₂的中點，知F₁為CE中點，即C、E關于點F₁對稱，設C（x₀，y₀），則E（-2-x₀，-y₀），根據C在橢圓上及E在y軸上可得關于x₀的方程組，由此可求得C點坐標；
（2）易知直線AC存在斜率，設直線AC：y=k（x+1），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由

x2 9 + y2 8 =1 y=k(x+1)

，得（8+9k²）x²+18k²x+9（k²-8）=0，x1+x2=-

18k2

8+9k2

，x1x2=

9(k2-8)

8+9k2

，
則m+n=

S△AF1O

S△AEO

+

S△CF1O

S△CEO

=

1 2 |AF1|h

1 2 |AE|h

+

1 2 |CF1|h

1 2 |CE|h

=

|AF1|

|AE|

+

|CF1|

|CE|

，利用弦長公式及韋達定理可把m+n表示為關于k的函數，由點A在第一象限可求得k的取值范圍，根據k的范圍即可求得m+n的取值范圍；

解答：解：（1）因為F₁，F₂三等分線段BD，所以|F₁F₂|=

1

3

|BD|，即2c=

1

3

•2a，所以a=3c①，
又a²=b²+c²②，b²=8③，聯立①②③解得a=3，c=1，
所以B（-3，0），F₁（-1，0），F₁為BF₂的中點，
因為四邊形EBCF₂為平行四邊形，所以C，E關于F₁（-1，0）對稱，
設C（x₀，y₀），則E（-2-x₀，-y₀），
因為E在y軸上，所以-2-x₀=0，解得x₀=-2，
又因為點C（x₀，y₀）在橢圓上，所以

x02

9

+

y02

8

=1，
又x₀=-2，所以

4

9

+

y02

8

=1，解得y₀=±

2 10

3

，依題意y0=-

2 10

3

，
因此點C的坐標為（-2，-

2 10

3

）；
（2）依題意直線AC的斜率存在，所以可設直線AC：y=k（x+1），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由

x2 9 + y2 8 =1 y=k(x+1)

，得（8+9k²）x²+18k²x+9（k²-8）=0，x1+x2=-

18k2

8+9k2

，x1x2=

9(k2-8)

8+9k2

，
所以m=

S△AF1O

S△AEO

=

1 2 |AF1|h

1 2 |AE|h

=

|AF1|

|AE|

=

1+k2 •|-1-x1|

1+k2 •|0-x1|

=

|x1+1|

|x1|

=

x1+1

x1

，其中h為點O到AE的距離，
n=

S△CF1O

S△CEO

=

1 2 |CF1|h

1 2 |CE|h

=

|CF1|

|CE|

=

1+k2• |-1-x2|

1+k2 •|0-x2|

=

|1+x2|

|x2|

=

-1-x2

-x2

=

1+x2

x2

，
m+n=

x1+1

x1

+

1+x2

x2

=

x2(1+x1)+x1(1+x2)

x1x2

=

2x1x2+x1+x2

x1x2

，
=2+

x1+x2

x1x2

=2+

-18k2 8+9k2

9(k2-8) 8+9k2

=2+

-2k2

k2-8

=2-

2(k2-8)+16

k2-8

=-

16

k2-8

．
因為點A在第一象限，所以0＜k＜2

2

，即0＜k²＜8，
令t=-

16

k2-8

，則k2=8-

16

t

，所以0＜8-

16

t

＜8，即0＜

1

t

＜

1

2

，解得t＞2，
故m+n的取值范圍是t＞2．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解，考查函數思想，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，解決（2）問的關鍵是把m+n表示為關于直線AC斜率k的函數，體現函數思想．