Question

(本小題滿分12分)
如圖（1）是一正方體的表面展開圖，和是兩條面對角線，請在圖（2）的正方體中將和畫出來，并就這個正方體解決下面問題.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：⊥平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．

Answer 1

解：MN、PB的位置如右圖示. ……………………………………………………（2分）
（Ⅰ）∵ND//MB且ND=MB，∴四邊形NDBM為平行四邊形.
∴MN//DB.
∵BD平面PBD，MN，∴MN//平面PBD.（5分）
（Ⅱ）∵QC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥QC.
又∵BD⊥AC，∴BD⊥平面AQC.
∵AQ面AQC，∴AQ⊥BD.
同理可得AQ⊥PB.
∵BDPD=B，∴AQ⊥面PDB. …………………………（8分）
（Ⅲ）解法1：分別取DB、MN中點E、F，連結PE、EF、PF.
∵在正方體中，PB=PD，∴PE⊥DB.
∵四邊形NDBM為矩形，∴EF⊥DB.
∴∠PEF為二面角P—DB—M為平面角.
∵EF⊥平面PMN，∴EF⊥PF.
設正方體的棱長為a，則在直角三角形EFP中，
∵，∴.
.…………………………（12分）
解法2：設正方體的棱長為a，以D為坐標原點建立空間直
角坐標系如圖.
則點A（a,0，0），P（a,0,a），Q（0,a,a）.
∴.
∵PQ⊥面DBM，由（2）知AQ⊥面PDB.
∴分別為平面PDB、平面DBM的法向量.
∴.
∴.…………………………（12分）

解析