Question

已知奇函數f(x)=

-x2+2x(x＞0) 0，(x=0) x2+mx(x＜0)

（1）求實數m的值，并在給出的直角坐標系中畫出y=f（x）的圖象．
（2）若函數f（x）在區間[-1，|a|-2]上單調遞增，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由奇函數f(x)=

-x2+2x(x＞0) 0，(x=0) x2+mx(x＜0)

的定義，對應相等求出m的值；畫出圖象．
（2）根據函數的圖象知函數的單調遞增區間，從而得到|a|-2的一個不等式，解不等式就求得a 的取值范圍．

解答：解：（1）當x＜0時，-x＞0，f（-x）=-（x）²+2（-x）=-x²-2x
又f（x）為奇函數，∴f（-x）=-f（x）=-x²-2x，∴f（x）=x²+2x，∴m=2
y=f（x）的圖象如右所示

（2）由（1）知f（x）=

-x2+2x x＞0 0 x=0 x2+2x x＜0

，
由圖象可知，f（x）在[-1，1]上單調遞增，要使f（x）在[-1，|a|-2]上單調遞增，只需

|a|-2＞-1 |a|-2≤1

解之得-3≤a＜-1或1＜a≤3

點評：考查奇函數的定義，應用轉化的思想求值；作函數的圖象，求a的取值范圍，體現了作圖和用圖的能力，屬中檔題．