Question

設A（-2，0），B（2，0），M為平面上任一點，若|MA|+|MB|為定值，且cosAMB的最小值為-．
（1）求M點軌跡C的方程；
（2）過點N（3，0）的直線l與軌跡C及單位圓x²+y²=1自右向左依次交于點P、Q、R、S，若|PQ|=|RS|，則這樣的直線l共有幾條？請證明你的結論．

Answer 1

解：（1）設M（x，y），
∵在△AMB中，AB=4，|MA|+|MB|是定值；
可設|MA|+|MB|=2a（a＞0）．
∴cosAMB═
=-1．（3分）
而|MA|+|MB|≥2，
∴|MA|•|MB|≤a²．
∴-1≥-1
．∵cosAMB最小值為-，
∴-1=-．∴a=．（6分）
∴|MA|+|MB|=2＞|AB|．
∴M點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，且a=，c=2．
∴b²=a²-c²=2．∴曲線C的方程是=1．（8分）
（2）設直線l的方程是y=k（x-3）．
1°當k=0時，顯然有|PQ|=|RS|；此時l的方程是y=0．
2°當k≠0時，∵|PQ|=|RS|，∴PS與RQ的中點重合，設中點為G，則OG⊥PS．
由，
得（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0．（11分）
設P（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
則x₁+x₂=，y₁+y₂=k（x₁-3）+k（x₂-3）=．
∴G（，）．
∴×k=-1無解，此時l不存在，
綜上，存在一條直線l：y=0滿足條件．（16分）
分析：（1）設M（x，y），設|MA|+|MB|=2a（a＞0）．由題設條件知cosAMB═=-1≥-1=-，解得a=．由此可知曲線C的方程是=1．
（2）設直線l的方程是y=k（x-3）．當k=0時，l的方程是y=0．當k≠0時，由，得（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0．設P（x₁，y₁），S（x₂，y₂），由根與第數的關系可知此時l不存在，綜上，存在一條直線l：y=0滿足條件．
點評：本題考查圓錐曲線知識的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．