Question

對于正整數a，b，存在唯一一對整數q和r，使得a=bq+r，0≤r＜b．特別地，當r=0時，稱b能整除a，記作b|a，已知A={1，2，3，…，23}．
（Ⅰ）存在q∈A，使得2011=91q+r（0≤r＜91），試求q，r的值；
（Ⅱ）求證：不存在這樣的函數f：A→{1，2，3}，使得對任意的整數x₁，x₂∈A，若|x₁-x₂|∈{1，2，3}，則f（x₁）≠f（x₂）；
（Ⅲ）若B⊆A，card（B）=12（card（B）指集合B 中的元素的個數），且存在a，b∈B，b＜a，b|a，則稱B為“和諧集”．求最大的m∈A，使含m的集合A的有12個元素的任意子集為“和諧集”，并說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為2011=91×22+9，所以q=22，r=9．…（2分）
（Ⅱ）證明：假設存在這樣的函數f：A→{1，2，3}，使得對任意的整數x，y，若|x-y|∈{1，2，3}，則f（x）≠f（y）．
設f（1）=a，a∈{1，2，3}，f（2）=b，b∈{1，2，3}，由已知a≠b，由于|3-1|=2，|3-2|=1，所以f（3）≠f（1），f（3）≠f（2）．
不妨令f（3）=c，c∈{1，2，3}，這里c≠a，且c≠b，同理，f（4）≠b，且f（4）≠c，
因為{1，2，3}只有三個元素，所以f（4）=a．即f（1）=f（4），但是|4-1|=3，與已知矛盾．
因此假設不成立，即不存在這樣的函數f：A→{1，2，3}，使得對任意的整數x，y，若|x-y|∈{1，2，3}，則f（x）≠f（y）．…（8分）
（Ⅲ）當m=8時，記M={7+i|i=1，2，…，16}，N={2（7+i）|i=1，2，3，4}記P=C_MN，則card（P）=12，顯然對任意1≤i＜j≤16，不存在n≥3，使得7+j=n（7+i）成立．故P是非“和諧集”，此時P={8，9，10，11，12，13，14，15，17，19，21，23}．同樣的，當m=9，10，11，12時，存在含m的集合A的有12個元素的子集為非“和諧集”．因此m≤7．…（10分）
下面證明：含7的任意集合A的有12個元素的子集為“和諧集”．
設B={a₁，a₂，…，a₁₁，7}，若1，14，21中之一為集合B的元素，顯然為“和諧集”．
現考慮1，14，21都不屬于集合B，構造集合B₁={2，4，8，16}，B₂={3，6，12}，B₃={5，10，20}，B₄={9，18}，B₅={11，22}，B'={13，15，17，19，23}．
以上B₁，B₂，B₃，B₄，B₅每個集合中的元素都是倍數關系．考慮B'⊆B的情況，也即B'中5個元素全都是B的元素，B中剩下6個元素必須從B₁，B₂，B₃，B₄，B₅這5個集合中選取6個元素，那么至少有一個集合有兩個元素被選，即集合B中至少有兩個元素存在倍數關系．
綜上所述，含7的任意集合A的有12個元素的子集B為“和諧集”，即m的最大值為7．…（14分）
分析：（Ⅰ）將2011除以91，便可求相應的商與余數；
（Ⅱ）假設存在這樣的函數，若f（1）=a，a∈{1，2，3}，f（2）=b，b∈{1，2，3}，則（3）≠f（1），f（3）≠f（2），令f（3）=c，c∈{1，2，3}，這里c≠a，且c≠b，同理有，f（4）≠b，且f（4）≠c，從而引出矛盾；
（Ⅲ）先證明m=8，9，10，11，12時，不存在含m的集合A的有12個元素的子集為非“和諧集”．再證明：含7的任意集合A的有12個元素的子集為“和諧集”．
點評：本題是新定義題，解答的關鍵是讀懂題意，巧妙運用，有一定的難度．