Question

【題目】函數f（x）的圖象如圖所示，曲線BCD為拋物線的一部分．

（Ⅰ）求f（x）解析式；

（Ⅱ）若f（x）=1，求x的值；

（Ⅲ）若f（x）＞f（2-x），求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) （2）或（3）-1＜x＜1

【解析】試題分析：

(Ⅰ)分段求解可得一次函數的解析式為：y=3x+3，二次函數的解析式為：y=x2-4x+3，即函數的解析式為分段函數： ；

(Ⅱ)結合(1)中函數的解析式分類討論可得或；

(Ⅲ)由題意結合函數的性質分類討論可得不等式f（x）＞f（2-x）的解集為-1＜x＜1.

試題解析：

（ I）當-1≤x≤0時，函數圖象為直線且過點（-1，0）（0，3），直線斜率為k=3，

所以y=3x+3；

當0＜x≤3時，函數圖象為拋物線，設函數解析式為y=a（x-1）（x-3），

當x=0時，y=3a=3，解得a=1，所以y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3，

所以．

（II）當x∈[-1，0]，令3x+3=1，解得；

當x∈（0，3]，令x2-4x+3=1，解得，

因為0＜x≤3，所以，

所以或；

（ III）當x=-1或x=3時，f（x）=f（2-x）=0，

當-1＜x＜0時，2＜2-x＜3，由圖象可知f（x）＞0，f（2-x）＜0，

所以f（x）＞f（2-x）恒成立；

當0≤x≤2時，0≤2-x≤2，f（x）在[0，2]上單調遞減，

所以當x＜2-x，即x＜1時f（x）＞f（2-x），所以0≤x＜1；

當2＜x＜3時，-1＜2-x＜0，此時f（x）＜0，f（2-x）＞0不合題意；

所以x的取值范圍為-1＜x＜1