Question

【題目】已知拋物線經過點，過作兩條不同直線，其中直線關于直線對稱.

（Ⅰ）求拋物線的方程及準線方程；

（Ⅱ）設直線分別交拋物線于兩點（均不與重合），若以線段為直徑的圓與拋物線的準線相切，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ；準線方程為 ；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）將點坐標代入曲線方程求出，于是可得曲線方程．（Ⅱ）方法一：由題意設出直線的方程，與拋物線方程聯立消元后根據根與系數的關系求出點的坐標，同理得到點的坐標，然后根據以線段為直徑的圓與拋物線的準線相切可求得點中的參數，進而可得所求方程．方法二：由題意得與的傾斜角互補，由此可得，于是可設直線的方程為，與曲線方程聯立消元后再根據題意求得參數，進而得到直線方程．

（Ⅰ）∵拋物線過點，

∴，解得，

∴拋物線的方程為，準線方程為．

（Ⅱ）方法一：不妨設在的左邊，從而可設直線的方程為，即，

由消去整理得．

設，

則，故，

∴，

∴點．

又由條件得與的傾斜角互補，以代替點坐標中的，

可得點．

∴，且中點的橫坐標為，

∵以線段為直徑的圓與拋物線的準線相切，

∴，解得

∴，，

∴，

∴直線的方程為，即．

方法二：設，

因為直線關于對稱，所以與的傾斜角互補，

所以，

所以，

所以．

設直線的方程為，

由消去去整理得，

所以，

所以，且中點D的橫坐標為．

因為以線段為直徑的圓與拋物線的準線相切，

所以，

即，解得，

所以直線的方程為，即．