Question

已知全集∪={1，2，3，4，5，6}．
（Ⅰ）求集合U的非空子集的個數；
（Ⅱ）若集合M={2，3}，集合N滿足M⊆N⊆∪，記集合N元素的個數為ξ，求ξ的分布列數數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由全集∪={1，2，3，4，5，6}，能求出集合U的非空子集的個數．
（Ⅱ）ξ的所有取值為2，3，4，5，6．滿足條件的集合N所有可能的結果總數為：

C

0 4

+

C

1 4

+

C

2 4

+

C

3 4

+

C

4 4

=24=16．分別求出每個隨機變量ξ的概率，由此能得以ξ的分布列和數學期望．

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）∵全集∪={1，2，3，4，5，6}，
∴集合U的非空子集的個數為2⁶-1=63個．…（5分）
（Ⅱ）ξ的所有取值為2，3，4，5，6．
滿足條件的集合N所有可能的結果總數為：

C

0 4

+

C

1 4

+

C

2 4

+

C

3 4

+

C

4 4

=24=16．…（7分）
則每個隨機變量ξ的概率分別為：
P（ξ=2）=

C 0 4

16

=

1

16

，
P（ξ=3）=

C 1 4

16

=

1

4

，
P（ξ=4）=

C 2 4

16

=

3

8

，
P（ξ=5）=

C 3 4

16

=

1

4

，
P（ξ=6）=

C 4 4

16

=

1

16

．…（11分）
所以ξ的分布列為：

Eξ=2×

1

16

+3×

1

4

+4×

3

8

+5×

1

4

+6×

1

16

=4．…（13分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．