Question

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．
（1）證明：

a+b

2a+b

＞

c

a+c

；
（2）證明：不論x取何值總有b²x²+（b²+c²-a²）x+c²＞0；
（3）若a＞c≥2，證明：

1

a+c+1

-

1

(c+1)(a+1)

＜

1

6

．

Answer 1

分析：（1）利用分析法，要證

a+b

2a+b

＞

c

a+c

，即證（a+b）（a+c）＞（2a+b）c，再利用三角形中a+b＞c，即可證得；
（2）只需要研究對應方程的△＜0成立即可；
（3）利用作差法，再進行適當的放縮可以證明．

解答：解：（1）∵a，b，c＞0，∴要證

a+b

2a+b

＞

c

a+c

，即證（a+b）（a+c）＞（2a+b）c，
整理得：a²+ab＞ac，即證a+b＞c，而a+b＞c在三角形中顯然成立，則原不等式成立；
（2）令y=b²x²+（b²+c²-a²）x+c²，由余弦定理b²+c²-a²=2bccosA，∴△=4b²c²（cos²A-1），
在三角形中，cos²A＜1，∴△0得：不論x取何值總有b²x²+（b²+c²-a²）x+c²＞0；

（3）∵a-c＞0．∴

1

a+c+1

-

1

(c+1)(a+1)

=

1

c+1

[

c+1

a+c+1

-

1

a+1

]＜

1

c+1

(

c+a-c+1

a+c+a-c+1

-

1

a+1

)=

1

c+1

-

a2

2a2+3a+1

=

1

c+1

-

1

2+( 3 a + 1 a2 )

＜

1

c+1

-

1

2

≤

1

2+1

-

1

2

=

1

6

即原不等式成立．

點評：本題主要考查不等式的證明，涉及知識、方法較多，有一定的綜合性，屬于中檔題．