Question

【題目】已知函數f（x）=x+ 的圖象過點P（1，5）． （Ⅰ）求實數m的值，并證明函數f（x）是奇函數；
（Ⅱ）利用單調性定義證明f（x）在區間[2，+∞）上是增函數．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 的圖象過點P（1，5）， ∴5=1+m，
∴m=4
∴ ，f（x）的定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱，
∴f（x）=﹣f（x），
f（x）是奇函數．
（Ⅱ）證明：設x2＞x1≥2，
則
又x2﹣x1＞0，x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
即f（x）在區間[2，+∞）上是增函數
【解析】（Ⅰ）代入點P，求得m，再由奇函數的定義，即可得證；（Ⅱ）根據單調性的定義，設值、作差、變形、定符號和下結論即可得證．
【考點精析】利用函數單調性的判斷方法和函數的奇偶性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．