Question

（2004•黃浦區一模）已知函數f(x)=k+

x

，存在區間[a，b]⊆[0，+∞），使f（x）在[a，b]上的值域仍是[a，b]，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：根據函數的單調性以及f（x）在[a，b]上的值域仍是[a，b]建立等式關系，從而可知

a

、

b

是方程t²-t-k=0的兩個不相等的非負實根，然后建立關系式即可．

解答：解：函數f(x)=k+

x

在[0，+∞）上為增函數（2分）
f（x）在[a，b]（⊆[0，+∞））上的值域為[a，b]，其充要條件是

f(a)=a f(b)=b b＞a≥0

?

a- a -k=0 b- b -k=0 b＞a≥0

?b＞a≥0，

a

、

b

是方程t²-t-k=0的兩個不相等的非負實根．（5分）
故存在[a，b]（⊆[0，+∞）），使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]的充要條件
是

-k≥0 △=1+4k＞0

?-

1

4

＜k≤0（8分）

點評：本題主要考查了函數的值域，以及函數的單調性和充要條件的理解，屬于中檔題．