Question

設S_n是數列{a_n} 的前n項和，若

S2n

Sn

(n∈N*)是非零常數，則稱數列{a_n} 為“和等比數列”．
（1）若數列{2bn}是首項為2，公比為4的等比數列，則數列 {b_n}

 

（填“是”或“不是”）“和等比數列”；
（2）若數列{c_n}是首項為c₁，公差為d（d≠0）的等差數列，且數列 {c_n} 是“和等比數列”，則d與c₁之間滿足的關系為

 

．

Answer 1

分析：（1）根據數列{2bn}是首項為2，公比為4的等比數列，我們易求出數列 {b_n}的通項公式，求出S_n后，代入驗證即可得到結論．
（2）根據數列{c_n}是首項為c₁，公差為d（d≠0）的等差數列，且數列 {c_n} 是“和等比數列”，我們列出關于d與c₁的方程，即可得到d與c₁之間滿足的關系．

解答：解：（1）數列{2bn}是首項為2，公比為4的等比數列，
則數列 {b_n}是一個首項為1，公差為2的等差數列，則S_n=n²，則

S2n

Sn

=4，
故數列 {b_n}是“和等比數列”；
（2）若數列{c_n}是首項為c₁，公差為d（d≠0）的等差數列，且數列 {c_n} 是“和等比數列”，
則S_n=

d

2

•n²+（

d

2

+c₁）•n，S_2n=4•

d

2

•n²+2•（

d

2

+c₁）•n，
若

S2n

Sn

(n∈N*)是非零常數，則d=2c₁
故答案為：（1）是，（2）d=2c₁

點評：本題考查的知識點是和等比關系的確定和性質，解答的關鍵是正確理解“和等比數列”的定義，并能根據定義構造出滿足條件的方程．