Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，前n項和為S_n，且滿足2S_n=a_n²+n-4（n∈N^*）．
（1）求證：數列{a_n}為等差數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：等差關系的確定,等差數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據數列的遞推關系，得到關于數列{a_n}的關系式，即可證明數列{a_n}為等差數列；
（2）根據等差數列的通項公式，即可得到結論．

解答： 解：（1）∵2S_n=a_n²+n-4（n∈N^*）．
∴2S_n+1=a_n+1²+n+1-4．
兩式相減得2S_n+1-2S_n=a_n+1²+n+1-4-（a_n²+n-4），
即2a_n+1=a_n+1²-a_n²+1，
則a_n+1²-2a_n+1+1=a_n²，
即（a_n+1-1）²=a_n²，
∵數列{a_n}的各項均為正數，
∴a_n+1-1=a_n，
即a_n+1-a_n=1
即數列{a_n}為等差數列，公差d=1．
（2）∵2S_n=a_n²+n-4，
∴當n=1時，2a₁=a₁²+1-4，
即a₁²-2a₁-3=0，
解得a₁=3或a₁=-1，（舍）
∵數列{a_n}為等差數列，公差d=1，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=3+n-1=n+2．

點評：本題主要考查等差數列的通項公式，利用數列的遞推關系，結合等差數列的定義是解決本題的關鍵．