Question

已知c＞0，設(shè)P：函數(shù)y=c^x在R上單調(diào)遞減，Q：不等式x+|x-2c|＞1對任意實數(shù)x恒成立，若“P或Q”為真，“P且Q”為假，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可求出命題p為真時，c的取值范圍；根據(jù)不等式恒成立的條件，可求出命題q為真時，c的取值范圍；進而根據(jù)復(fù)合命題真假判斷的真值表，可得命題p，q一真一假，分類討論后，綜合討論結(jié)果可得答案．

解答：解：若函數(shù)y=c^x在R上單調(diào)遞減，則0＜c＜1，
即命題p為真時，0＜c＜1，
由c＞0，故命題p為假時，c≥1，
若不等式x+|x-2c|＞1對任意實數(shù)x恒成立，則|x-2c|＞-x+1對任意實數(shù)x恒成立，
當x＞1時，-x+1＜0，|x-2c|＞-x+1恒成立
當x≤1時，-x+1≥0，若|x-2c|＞-x+1恒成立
則x-2c=0，即x=2c時，|x-2c|=0＞-x+1成立
即0＞-2c+1，即c＞

1

2

，
即命題q為真時，c＞

1

2

，
由c＞0，故命題q為假時，0＜c≤

1

2

由“P或Q”為真，“P且Q”為假，可得命題p，q一真一假：
當p真q假時，0＜c≤

1

2

當p假q真時，c≥1
故c的取值范圍為（0，

1

2

）∪（1，+∞）

點評：本題考查的知識點是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，不等式恒成立的條件，復(fù)合命題真假判斷的真值表，求出命題p，q為真時，c的取值范圍，是解答的關(guān)鍵．