Question

【題目】設函數f（x）=x2+ax+b，a，b∈R．
（1）若a+b=3，當x∈[1，2]時，f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）是否存在實數對（a，b），使得不等式|f（x）|＞2在區間[1，5]上無解，若存在，試求出所有滿足條件的實數對（a，b）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）≥0，即a（x﹣1）≥﹣（x2+3）．

當x=1時，恒成立；

當x∈（1，2]時，得 ，

令t=x﹣1∈（0，1]，

≤﹣7

綜上：有a≥﹣7

（2）解：要使|f（x）|＞2在區間[1，5]上無解，

必須滿足 ，

即

由 ，

相加得：﹣4≤8+2a≤4﹣6≤a≤2

再由 ，

相加得：﹣4≤16+2a≤4﹣10≤a≤﹣6

可以解得：a=﹣6，代入不等式組，得到b=7．

檢驗a=﹣6，時，|f（x）|≤2在區間[1，5]上恒成立

所以滿足題意的是實數對（a，b）只有一對：（﹣6，7）

【解析】（1）分離參數得到 ，結合基本不等式的性質得到a的范圍即可；（2）根據二次函數的性質得到關于a的不等式組，解出即可．