Question

設數列{a_n}的前n項積為T_n，已知對?n，m∈N₊，當n＞m時，總有

Tn

Tm

=Tn-m•q(n-m)m（q＞0是常數）．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）設正整數k，m，n（k＜m＜n）成等差數列，試比較T_n•T_k和（T_m）²的大小，并說明理由；
（3）探究：命題p：“對?n，m∈N₊，當n＞m時，總有

Tn

Tm

=Tn-m•q(n-m)m（q＞0是常數）”是命題t：“數列{a_n}是公比為q（q＞0）的等比數列”的充要條件嗎？若是，請給出證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設m=1，則有

Tn

T1

=Tn-1•qn-1，從而可得an=a1•qn-1，即可證得數列{a_n}是等比數列；
（2）當q=1時，T_n•T_k=a1n+k=a12m=Tm2；當q≠1時，an=a1•qn-1，Tn=a1n•q

n(n-1)

2

，從而可得T_n•T_k=a1n•q

n(n-1)

2

•a1k•q

k(k-1)

2

=a1n+k•q

n(n-1)+k(k-1)

2

，根據Tm2=a12m•qm(m-1)，n+k=2m，k＜m＜n，利用基本不等式，即可得到結論；
（3）證明：由（1）知，充分性成立；
必要性：利用q≠1時，an=a1•qn-1，Tn=a1n•q

n(n-1)

2

，可證得

Tn

Tm

=Tn-m•q(n-m)m，同理可證，當q=1時，也成立，故得證．

解答：（1）證明：設m=1，則有

Tn

T1

=Tn-1•qn-1，∴

Tn

Tn-1

=a1•qn-1
∴an=a1•qn-1
∴n≥2時，

an

an-1

=q
∴數列{a_n}是等比數列；
（2）解：當q=1時，a_n=a₁，∴Tn=a1n，∴T_n•T_k=a1n+k=a12m=Tm2
當q≠1時，an=a1•qn-1，Tn=a1n•q

n(n-1)

2

∴T_n•T_k=a1n•q

n(n-1)

2

•a1k•q

k(k-1)

2

=a1n+k•q

n(n-1)+k(k-1)

2

∵Tm2=a12m•qm(m-1)，n+k=2m，k＜m＜n
∴a12m=a1n+k，

n(n-1)+k(k-1)

2

=

n2+k2

2

-m＞(

n+k

2

)2-m=m2-m
∴q＞1時，T_n•T_k＞Tm2；q＜1時，T_n•T_k＜Tm2
（3）證明：由（1）知，充分性成立；
必要性：若數列{a_n}是公比為q（q＞0）的等比數列，則an=a1•qn-1
∴q≠1時，Tn=a1n•q

n(n-1)

2

∴

Tn

Tm

=

a1n•q n(n-1) 2

a1m•q m(m-1) 2

=a1n-mq

(n-m)(n+m+1)

2

Tn-m•q(n-m)m=a1n-m•q

(n-m)(n-m-1)

2

•q^（n-m）m=a1n-mq

(n-m)(n+m+1)

2

∴

Tn

Tm

=Tn-m•q(n-m)m
∴對?n，m∈N₊，當n＞m時，總有

Tn

Tm

=Tn-m•q(n-m)m（q＞0是常數）
同理可證，當q=1時，也成立
∴命題p：“對?n，m∈N₊，當n＞m時，總有

Tn

Tm

=Tn-m•q(n-m)m（q＞0是常數）”是命題t：“數列{a_n}是公比為q（q＞0）的等比數列”的充要條件．

點評：本題考查等比數列的定義，考查新定義，考查充要性的證明，綜合性強，難度大．