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【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線，過點的直線交拋物線于，，，兩點.當垂直于軸時，的面積為.

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（1）求拋物線的方程：

（2）設線段的垂直平分線交軸于點.

①證明：為定值：

②若，求直線的斜率.

【題目】對于定義在上的函數，若存在，使恒成立，則稱為“型函數”；若存在，使恒成立，則稱為“型函數”.已知函數.

（1）設函數.若，且為“型函數”，求的取值范圍；

（2）設函數.證明：當，為“（1）型函數”；

（3）若，證明存在唯一整數，使得為“型函數”.

【題目】已知數列的前項和為，，，，.

（1）若，，求的值；

（2）若數列的前項成公差不為0的等差數列，求的最大值；

（3）若，是否存在，使為等比數列？若存在，求出所有符合題意的的值；若不存在，請說明理由.

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓短軸的兩個頂點與右焦點的連線構成等邊三角形，兩準線之間的距離為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線與橢圓交于，兩點，設直線，的斜率分別為，.已知.

①求的值；

②當的面積最大時，求直線的方程.

【題目】如圖，某森林公園內有一條寬為100米的筆直的河道（假設河道足夠長），現擬在河道內圍出一塊直角三角形區域養殖觀賞魚.三角形區域記為，到河兩岸距離，相等，，分別在兩岸上，.為方便游客觀賞，擬圍繞區域在水面搭建景觀橋.為了使橋的總長度（即的周長）最短，工程師設計了以下兩種方案：

方案1：設，求出關于的函數解析式，并求出的最小值.

方案2：設米，求出關于的函數解析式，并求出的最小值.

請從以上兩種方案中自選一種解答.（注：如果選用了兩種解答方案，則按第一種解答計分）

【題目】以直角坐標系坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是．

（1）求曲線C直角坐標方程；

（2）射線與曲線C相交于點，直線（t為參數）與曲線C相交于點D，E，求．

【題目】已知M，N是平面兩側的點，三棱錐所有棱長是2，，，如圖．

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦．

【題目】某城市9年前分別同時開始建設物流城和濕地公園，物流城3年建設完成，建成后若年投入x億元，該年產生的經濟凈效益為億元；濕地公園4年建設完成，建成后的5年每年投入見散點圖．公園建成后若年投入x億元，該年產生的經濟凈效益為億元．

（1）對濕地公園，請在中選擇一個合適模型，求投入額x與投入年份n的回歸方程；

（2）從建設開始的第10年，若對物流城投入0.25億元，預測這一年物流城和濕地公園哪個產生的年經濟凈效益高？請說明理由．

參考數據及公式：，；當時，，，回歸方程中的；回歸方程斜率與截距，．

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．

（1）求直線與曲線的普通方程；

（2）若直線與曲線交于、兩點，點，求的值．

【題目】已知函數．

（1）討論的單調性；

（2）若，恒成立，求a的取值范圍．