Question

如圖所示為我國“嫦娥一號衛星”從發射到進入月球工作軌道的過程示意圖．在發射過程中，經過一系列的加速和變軌，衛星沿繞地球“48小時軌道”在抵達近地點P時，主發動機啟動，“嫦娥一號衛星”的速度在很短時間內由v₁提高到v₂，進入“地月轉移軌道”，開始了從地球向月球的飛越．“嫦娥一號衛星”在“地月轉移軌道”上經過114小時飛行到達近月點Q時，需要及時制動，使其成為月球衛星．之后，又在繞月球軌道上的近月點Q經過兩次制動，最終進入繞月球的圓形工作軌道I．已知“嫦娥一號衛星”質量為m₀，在繞月球的圓形工作軌道I上運動的周期為T，月球的半徑r_月，月球的質量為m_月，萬有引力恒量為G．
（1）求衛星從“48小時軌道”的近地點P進入“地月轉移軌道”過程中主發動機對“嫦娥一號衛星”做的功（不計地球引力做功和衛星質量變化）；
（2）求“嫦娥一號衛星”在繞月球圓形工作軌道?運動時距月球表面的高度；
（3）理論證明，質量為m的物體由距月球無限遠處無初速釋放，它在月球引力的作用下運動至距月球中心為r處的過程中，月球引力對物體所做的功可表示為W=Gm_月m/r．為使“嫦娥一號衛星”在近月點Q進行第一次制動后能成為月球的衛星，且與月球表面的距離不小于圓形工作軌道?的高度，最終進入圓形工作軌道，其第一次制動后的速度大小應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）根據動能定理，主發動機在嫦娥一號衛星進入地月轉移軌道過程中對衛星做的功W=

1

2

m0v22-

1

2

m0v12
（2）設“嫦娥一號衛星”在圓軌道?上運動時距月球表面的高度為h，根據萬有引力定律和向心力公式有G

m月m0

(r月+h)2

=m0(r月+h)

4π2

T2

，化簡即可算出h．
（3）設“嫦娥一號衛星”在近月點進行第一次制動后，在圓軌道?上運動的速度為u₁，則u1=

2π(r月+h)

T

，代入上面h的值，化簡可達到u₁．
設“嫦娥一號衛星”在通過近月點脫離月球引力束縛飛離月球的速度為u₂，根據機械能守恒定律

1

2

m0u22-G

m月m0

r月+h

=0，可解得u₂．
所以，“嫦娥一號衛星”在近月點進行第一次制動后的速度u應滿足的條件是：u₁＜u＜u₂．

解答：解：（1）根據動能定理，主發動機在嫦娥一號衛星進入地月轉移軌道過程中對衛星做的功W=

1

2

m0v22-

1

2

m0v12
（2）設“嫦娥一號衛星”在圓軌道?上運動時距月球表面的高度為h，根據萬有引力定律和向心力公式有
G

m月m0

(r月+h)2

=m0(r月+h)

4π2

T2

解得：h=

3	Gm月T2 4π2

-r月
（3）設“嫦娥一號衛星”在近月點進行第一次制動后，在圓軌道?上運動的速度為u₁，則
u1=

2π(r月+h)

T

解得：u1=

3	2πGm月 T

設“嫦娥一號衛星”在通過近月點脫離月球引力束縛飛離月球的速度為u₂，根據機械能守恒定律

1

2

m0u22-G

m月m0

r月+h

=0
解得：u2=

2

3	2πGm月 T

所以，“嫦娥一號衛星”在近月點進行第一次制動后的速度u應滿足的條件是：

3	2πGm月 T

＜u＜

2

3	2πGm月 T

答：（1）衛星從“48小時軌道”的近地點P進入“地月轉移軌道”過程中主發動機對“嫦娥一號衛星”做的功W=

1

2

m0v22-

1

2

m0v12．
（2）“嫦娥一號衛星”在繞月球圓形工作軌道?運動時距月球表面的高度h=

3	Gm月T2 4π2

-r月．
（3）理論證明，質量為m的物體由距月球無限遠處無初速釋放，它在月球引力的作用下運動至距月球中心為r處的過程中，月球引力對物體所做的功可表示為W=Gm_月m/r．為使“嫦娥一號衛星”在近月點Q進行第一次制動后能成為月球的衛星，且與月球表面的距離不小于圓形工作軌道?的高度，最終進入圓形工作軌道，其第一次制動后的速度大小應滿足：

3	2πGm月 T

＜u＜

2

3	2πGm月 T

．

點評：抓住解題的關鍵，（1）地球表面萬有引力等于重力，（2）萬有引力提供衛星繞地球圓周運動的向心力．外力對外星做的功等于衛星軌道轉移過程中的動能的變化．