Question

【題目】小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內做圓周運動．當球某次運動到最低點時，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地，如圖所示．已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為 d，重力加速度為g．忽略手的運動半徑和空氣阻力．
（1）求繩斷開時球的速度大小v1
（2）問繩能承受的最大拉力多大？
（3）改變繩長，使球重復上述運動，若繩仍在球運動到最低點時斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應為多少？最大水平距離為多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：設繩斷后球做平拋運動的時間為t1，

豎直方向上： ，

水平方向上：d=v1t1

解得：

（2）解：設繩能承受的最大拉力為Fm，球做圓周運動的半徑為：

R=

解得：

（3）解：設繩長為l，繩斷時球的速度為v2．有： ，

解得：

繩斷后球做平拋運動，豎直位移為d﹣l，水平位移為x，時間為t2．

豎直方向有：d﹣l=

水平方向有：x=v2t2．

得x= =4

根據數學關系有當l= 時，x有極大值為：

【解析】（1）繩斷后，小球做平拋運動，根據平拋運動的高度求出時間，根據水平位移和時間求出繩斷時球的速度大小．（2）根據在最低點，合力提供向心力，運用牛頓第二定律求出最大拉力．（3）根據最大拉力，通過牛頓第二定律求出繩斷后的速度與繩長的關系，根據平拋運動求出平拋運動水平位移的表達式，通過數學方法二次函數求極值，求出l為多少時，x最大．
【考點精析】掌握向心力是解答本題的根本，需要知道向心力總是指向圓心，產生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大小；向心力是根據力的效果命名的.在分析做圓周運動的質點受力情況時，千萬不可在物體受力之外再添加一個向心力．