Question

如圖所示，在上、下水平放置的金屬板H、Q的上方有一個勻強磁場區域，磁感應強度為B，垂直紙面向外，該磁場被限制在邊長為d的正方形彈性塑料邊界EFPG中．水平金屬導軌M、N用導線和金屬板H、Q相連，導軌間的距離為L．金屬棒CD置于導軌上且與導軌垂直，可以無摩擦的滑動．在導軌所在空間有豎直向下的勻強磁場，磁感應強度為B′．虛線OO′平分金屬板和正方形磁場區域EFPG，O、O′為金屬板上的小孔，磁場邊界PG緊靠金屬板H，且PG正中央開有一小孔與O′對接．在小孔O的下方有一個質量為m、電量大小為q的彈性小球飄入兩金屬板間，其飄入金屬板間的速率可以忽略不計，不考慮小球的重力以及對金屬板電勢的影響．求：
（1）當金屬棒CD以速度v向右勻速運動時，金屬板H、Q哪一塊板的電勢高？這兩塊金屬板間的電勢差為多少？
（2）在（1）問中，若從小孔O飄入兩金屬板間的彈性小球能被加速，則小球帶何種電荷？其到達O′的速率有多大？
（3）金屬棒CD在導軌上應以多大的速率勻速運動，才能使彈性小球進入磁場與彈性塑料邊界EFPG發生碰撞后又返回到小孔O處？已知小球每次與邊界發生碰撞均無電荷遷移和機械能損失．

Answer 1

分析：CD棒切割磁感線，由右手定則可確定金屬板電勢高低且電勢差．根據小球在金屬板間被加速則可判定電性，由動能定理可求出到達O′的速率．要使彈性小球進入磁場與彈性塑料邊界EFPG發生碰撞后又返回到小孔O處（小球每次與邊界發生碰撞均無電荷遷移和機械能損失），雖碰撞多次，但時間是小球做圓周運動周期的整數倍，則棒的速度有多種．

解答：解：（1）根據右手定則，可以判定金屬棒的C端電勢高，故金屬板H的電勢高
金屬棒向右勻速運動時，產生的電動勢為E=B^′Lv
金屬板Q、H間的電勢差U=E  所以金屬板Q、H間的電勢差為U=B′Lv            （1）
（2）在（1）問中，由于金屬板H的電勢高，故小球帶負電荷．
根據qU=

1

2

mu2  （2）
 由（1）（2）式解得小球到達O′的速率為 u=

2qB′Lv m

（3）
（3）小球被加速后進入磁場區域，在洛倫茲力作用下作勻速圓周運動，有Bqu=m

u2

r

  
 解r=

mu

Bq

（4）
要小球返回到小孔O處，小球離開磁場時必與邊界PG垂直射出．小球進入磁場后可能出現的幾種運動軌跡如圖所示

小球作圓周運動的半徑r=

1

2n

d   式中n=1、2、3、4  （5）
由（4）（5）式解得小球作圓周運動的速度大小u=

Bqd

2nm

  （6）
由（3）（6）解得金屬棒向右勻速運動的速度大小v=

B2qd2

8n2mLB′

點評：帶電粒子在棒切割磁感線產生的電場中被加速后，又進入磁場中被偏轉．但磁場對其不做功，則要想再次從原點出來，所以完成時間是周期的整數倍．