Question

（2011?鄭州模擬）如圖所示，矩形區域MNPQ內有水平向右的勻強電場；在y≥0的區域內還存在垂直于坐標平面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B．半徑為R的光滑絕緣空心半圓細管ADO固定在豎直平面內，半圓管的一半處于電場中，圓心O₁為MN的中點，直徑AO垂直于水平虛線MN．一質量為m、電荷量為q的帶正電小球（可視為質點）從圓管的A點由靜止滑入管內，從O點穿出后恰好通過O點正下方的C點．已知重力加速度為g，電場強度的大小E=

4mg

3q

．求：
（1）小球到達O點前一時刻，圓管對它作用力的大小；
（2）矩形區域MNPQ的高度H和寬度L應滿足的條件；
（3）從O點開始計時，經過多長時間小球的動能最小？

Answer 1

分析：（1）小球從A到O的過程，運用動能定理求得O點速度，到達O點前一時刻，根據牛頓第二定律求得作用力．
（2）小球從O到C 的過程中，水平方向做勻減速運動，豎直方向做自由落體運動，運用運動的合成與分解，把加速度分解，分別在水平方向上和豎直方向上求位移．
（3）當F_合與速度v的方向垂直時，小球的動能最小，把運動分解到水平方向上和豎直方向上求解時間．

解答：解：（1）小球從A到O的過程，由動能定理得mg(2R)-qER=

1

2

m

v

2 0

v0=

4gR 3

到達O點前一時刻，根據牛頓第二定律   FN-mg-qv0B=

m v 2 0

R

圓管對小球的作用力         FN=

7

3

mg+qB

4gR 3

（2）小球從O到C 的過程中，水平方向做勻減速運動，豎直方向做自由落體運動
ax=

4

3

g
a_y=g
設向左減速時間為t
t=

v0

a

=

3R 4g

水平位移大小       x=

1

2

v0t=

R

2

豎直位移大小       y=

1

2

g(2t)2=

3R

2

高度滿足條件H≥

3R

2

+R=

5

2

R   
寬度應滿足L≥

R

2

+R=

3R

2

（3）當F_合與速度v的方向垂直時，小球的動能最小，
設經過的時間為t
vy=gt，vx=v0-axt=v0-

4g

3

t
cotθ=

qE

mg

=

4

3

，
v_y=v_xcotθ；
可解得t=

8

25

3R g

法二：vy=gt，vx=v0-axt=v0-

4g

3

t
v2=v2x+v2y=

25g2

9

t2-

8

3

g

4gR 3

t+

4gR

3

當t=

8

25

3R g

時，函數v²有最小值，動能有最小值．
答：（1）小球到達O點前一時刻，圓管對它作用力的大小為FN=

7

3

mg+qB

4gR 3

．
（2）矩形區域MNPQ的高度H滿足的條件為H≥

3R

2

+R=

5

2

R；寬度L應滿足的條件為L≥

R

2

+R=

3R

2

．
（3）從O點開始計時，經過t=

8

25

3R g

，小球的動能最小．

點評：運用動能定理解題需合適地選取研究的過程，根據動能定理列出表達式求解．此題有一定的難度，屬于中檔題．