Question

有兩個用特殊材料做成的兩個物體A和B，質量都為m；它們之間存在一種相互作用，這個作用力F與它們間的距離x的關系為F=ρ（x₀-x），其中k、x₀為已知常數，當兩者間距離x＜x₀時，這個作用表現為斥力，當x＞x₀時，這個作用表現為引力，當x=x₀時，作用力為零．現將物體B固定在水平地面上，再將A移到B的正上方，最終A能靜止于B的正上方的某處，試求：（已知重力加速度大小為g）
（1）當A靜止于B的正上方時，兩者間的距離x₁多大；
（2）當A靜止于B的正上方時，給A施加一個豎直向上的拉力，使A向上做勻加直線運動，加速度大小為a，則經過多長時間，B開始離開地面；
（3）若把A從B的正上方相距x₀處由靜止釋放，則A向下運動的過程中所能達到的最大速度v_m為多少．

Answer 1

解：
（1）當A靜止于B的正上方時，它一定是在重力和B的斥力作用下平衡，則有：
mg=ρ（x₀-x₁）
解得：
（2）當B離開地面時，B受到A的引力等于B的重力，
即 mg=ρ（x₂-x₀）
故此時AB間的距離
在A勻加速上升過程中：
解得
（3）A釋放后開始向下做變加速直線運動，當AB相距為x₁時速度達到最大，此過程中：
變形為：（mg-ρx₀）△x+ρx△x=mv△v
對上式進行積分得：
化簡得：A所能達到的最大速度
答：
（1）當A靜止于B的正上方時，兩者間的距離；
（2）當A靜止于B的正上方時，給A施加一個豎直向上的拉力，使A向上做勻加直線運動，加速度大小為a，經過時間 ，B開始離開地面；
（3）若把A從B的正上方相距x₀處由靜止釋放，A向下運動的過程中所能達到的最大速度為 ．
分析：（1）當A靜止于B的正上方時，其重力與斥力平衡，由平衡條件求解兩者間的距離x₁．
（2）當B離開地面時，B受到A的引力等于B的重力，由F=ρ（x₀-x）求出AB間的距離，由位移公式求出運動時間．
（3）A釋放后開始向下做變加速直線運動，根據牛頓第二定律得出A、B間距離與速度變化率的關系式，運用積分的方法求出最大速度v_m．
點評：本題首先要認真審題，讀懂題意．對于變加速運動，不能勻變速運動的公式求速度，常常采用微分、積分的方法求速度．