Question

【題目】如圖所示，在xoy平面內，有一個圓形區域的直徑AB與x軸重合，圓心O′的坐標為（2a，0），其半徑為a，該區域內無磁場．在y軸和直線x=3a之間的其他區域內存在垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B．一質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從y軸上某點射入磁場．不計粒子重力．

（1）若粒子的初速度方向與y軸正向夾角為60°，且粒子不經過圓形區域就能到達B點，求粒子的初速度大小v1；

（2）若粒子的初速度方向與y軸正向夾角為60°，在磁場中運動的時間為，且粒子也能到達B點，求粒子的初速度大小v2；

（3）若粒子的初速度方向與y軸垂直，且粒子從O′點第一次經過x軸，求粒子的最小初速度vm．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）。

【解析】試題分析：（1）粒子不經過圓形區域就能到達B點，故粒子到達B點時速度豎直向下，圓心必在x軸正半軸上，設粒子做圓周運動的半徑為r1，如圖1，由幾何關系得：r1sin30°=3a﹣r1（2分）

再利用洛倫茲力提供帶電粒子做圓周運動的向心力： 解得粒子的半徑為： （2分）

解得： （1分）

（2）粒子在磁場中的運動周期為： ，故粒子在磁場中的運動軌跡如圖2所示的圓心角為為： （1分）

粒子到達B點的速度與x軸夾角 β=30° （1分）

設粒子做圓周運動的半徑為r2，由幾何關系得： 3a=2r2sin30°+2acos30°cos30° （1分）

再利用洛倫茲力提供帶電粒子做圓周運動的向心力： 解得粒子的半徑為：

解得： （1分）

（3）設粒子從C點進入圓形區域，O′C與O′A夾角為θ，軌跡圓對應的半徑為r，如圖3所示，由幾何關系得：2a="rsinθ+acosθ" （1分）

故當θ=60°時，半徑最小為（1分）

再利用洛倫茲力提供帶電粒子做圓周運動的向心力： ，

解得粒子的半徑為： （1分）

解得： （1分）