Question

如圖所示，足夠長光滑水平軌道與半徑為R的光滑四分之一圓弧軌道相切．現(xiàn)從圓弧軌道的最高點(diǎn)由靜止釋放一質(zhì)量為m的彈性小球A，當(dāng)A球剛好運(yùn)動到圓弧軌道的最低點(diǎn)時，與靜止在該點(diǎn)的另一彈性小球B發(fā)生沒有機(jī)械能損失的碰撞．已知B球的質(zhì)量是A球質(zhì)量的k倍，且兩球均可看成質(zhì)點(diǎn)．
（1）若k已知且等于某一適當(dāng)?shù)闹禃r，A、B兩球在水平軌道上經(jīng)過多次沒有機(jī)械能損失的碰撞后，最終恰好以相同的速度沿水平軌道運(yùn)動．求該速度的大小；
（2）若第一次碰撞結(jié)束的瞬間，A球?qū)�圓弧軌道最低點(diǎn)壓力剛好等于碰前其壓力的一半，求k的可能取值：

Answer 1

（1）設(shè)最終兩球的速度大小為v，根據(jù)機(jī)械能守恒可得：
mgR=

1

2

mv2+

1

2

kmv2，
解得：v=

2gR k+1

．
（2）設(shè)A球到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)時速度為v₀，則：

1

2

mv02=mgR
設(shè)此時A球?qū)�軌道壓力為N，則：N-mg=m

v02

R

設(shè)碰撞后A球的速度大小為v₁，對軌道的壓力為N₁，B球的速度為v₂，選v₀的方向?yàn)檎�，則：
mv₀=kmv₂±m(xù)v₁，

1

2

mv02=

1

2

mv12+

1

2

kmv22，
N1-mg=m

v12

R

N1=

1

2

N
代入數(shù)值解上述方程組可得：k=3或k=

1

3

．
答：（1）該速度的大小為v=

2gR k+1

．
（2）k的可能取值為3或

1

3

．