Question

如圖所示，質量為2kg的物塊A（可看作質點），開始放在長木板B的左端，B的質量為1kg，可在水平面上無摩擦滑動，水平地面上有兩個固定的豎直擋板M N，現A、B以相同的速度v₀=6m/s向左運動并與擋板M發生碰撞．B 與M碰后速度立即變為零，但不與M粘接；A與M碰撞沒有能量損失，碰后接著返向N板運動，且在與N板碰撞之前，A、B均能達到共同速度并且立即被鎖定，與N板碰撞后A、B一并原速反向，并且立刻解除鎖定．A、B之間的動摩擦因數μ=0.1．通過計算回答下列問題：g取10m/s²
（1）在與N板發生第一次碰撞之前A、B的共同速度大小是多少？
（2）在與N板發生第一次碰撞之前A相對于B向右滑行距離△S₁是多少？
（3）A和B最終停在何處？A在B上一共通過了多少路程？

Answer 1

分析：（1）由題，AB第一次與擋板碰后，A原速率返回，B的速度減至零，在與N板發生第一次碰撞之前，兩者已達到共同速度，根據動量守恒求出共同速度的大小；
（2）從與M板碰后到與N板發生第一次碰撞之前，對于AB系統，根據動能定理求解A相對于B向右滑行距離△S₁．
（3）由于每次與M板碰撞后，B靜止，A原速率返回，采用歸納法研究各段過程A在B上通過的路程，運用運動學公式得到相對運動的總路程．

解答：解：（1）AB第一次與擋板碰后，A返回速度為v₀
由動量守恒定律得：m_A v₀=（m_A+m_B） v₁
∴v₁=

mAv0

mA+mB

=4m/s
（2）A相對于B滑行△S₁
由動能定理得：
  μm_Ag△S₁=

1

2

mAv₀²-

1

2

（m_A+m_B） v₁²
△S₁═6m  
（3）A與M第一次碰撞速度為v₁（v₁=v₀）
  m_A v₁=（m_A+m_B） v₁′
∴v₁′=

2

3

v₁ 
A相對于B滑行△S₁
  μm_Ag△S₁=

1

2

mAv₁²

1

2

（m_A+m_B） v₁^/2
△S₁=

v12

6

當B再次與M相碰而靜止時，A相對于B能滑行的最大距離為S_m1
  0-v₁^/2=-2μg S_m1
  S_m1=

2v12

9

＞△S₁
同理 每次以共同速度相碰，A都能相對B滑行到與M相碰，最終都停在M處
A與M第二次碰撞速度為v₂
則有：v₂²-v₁^/2=-2μg△S₁ 
  v₂²=

4

9

v₁²-2μg△S₁=

4

9

×6△S₁-2△S₁=

2

3

△S₁
同理△S₂=

v22

6

=

1

9

△S₁ 
依此類推△S₃═

1

9

△S₂
△S=（△S₁+△S₂+△S₃+…）×2=

27

2

m 
答：
（1）在與N板發生第一次碰撞之前A、B的共同速度大小是4m/s．
（2）在與N板發生第一次碰撞之前A相對于B向右滑行距離△S₁是6m．
（3）A和B最終都停在M處，A在B上一共通過了

27

2

m．

點評：本題是物理上數列類型，關鍵要研究物體運動的過程，運用動量守恒和運動學公式得到各段路程的規律，再由數學知識求出相對總路程．