Question

【題目】靜止在水平面上的小車(chē)固定在剛性水平輕桿的一端，桿的另一端通過(guò)小圓環(huán)套在豎直光滑的立柱上。每當(dāng)小車(chē)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，車(chē)上的彈簧槍就會(huì)沿垂直于輕桿的水平方向自動(dòng)發(fā)射一粒彈丸，然后自動(dòng)壓縮彈簧并裝好一粒彈丸等待下次發(fā)射，直至射出所有彈丸。下圖為該裝置的俯視圖。已知每粒彈丸的質(zhì)量為 m，未裝彈丸時(shí)的小車(chē)質(zhì)量為M（包括彈簧槍質(zhì)量）。現(xiàn)給小車(chē)裝上n粒彈丸，每次發(fā)射彈丸釋放的彈性勢(shì)能為E，發(fā)射過(guò)程時(shí)間極短；小車(chē)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的半徑為L，運(yùn)動(dòng)時(shí)受到一個(gè)與運(yùn)動(dòng)方向相反的阻力作用、阻力大小為小車(chē)對(duì)地面壓力的k倍，其它阻力忽略不計(jì)，重力加速度為 g。

(1)求第一粒彈丸被射出時(shí)小車(chē)的速度大小；

(2)整個(gè)過(guò)程中輕桿未被拉斷，求輕桿所受拉力的最大值；

(3)求整個(gè)過(guò)程中小車(chē)做圓周運(yùn)動(dòng)的總路程

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）發(fā)射第一粒彈丸，由動(dòng)量和能量守恒得

聯(lián)立解得

（2）設(shè)某次發(fā)射后，車(chē)上有顆彈丸，則

整理得

可知時(shí)桿拉力最大，即發(fā)射最后一顆彈丸后，輕桿承受的拉力最大。

此時(shí)輕桿對(duì)車(chē)的最大拉力

由牛頓第三定律得，輕桿所受拉力的最大值為

（3）發(fā)射彈丸后，車(chē)上有（，，……，2，1，0）顆彈丸時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)路程為，

有

得

最大總路程