Question

（2013?河池模擬）如圖甲所示，一豎直平面內的軌道由粗糙斜面AD和光滑圓軌道DCE組成，AD與DCE相切于D點，C為圓軌道的最低點，將一小物塊置于軌道ADC上離地面高為H處由靜止釋放，用力傳感器測出其經過C點時對軌道的壓力N，改變H的大小，
可測出相應的N的大小，N隨H的變化關系如圖乙折線PQI所示（PQ與QI兩直線相連接于Q點），QI反向延長交縱軸于F點（0，5.8N），重力加速度g取10m/s²，求：
（1）求出小物塊的質量m；圓軌道的半徑R、軌道DC所對應的圓心角θ；
（2）小物塊與斜面AD間的動摩擦因數μ．
（3）若要使小物塊能運動到圓軌道的最高點E，則小物塊應從離地面高為H處由靜止釋放，H為多少？

Answer 1

分析：（1）從圖象得到H=0時的彈力，即為物體的重力，從而得到物體的質量m；
（2）結合圖象可以得到當H=0.2m時，物體恰好在斜面最低點，根據機械能守恒定律和向心力公式聯立列式求解出圓軌道的半徑R，然后可根據幾何關系得到軌道DC所對圓心角；
（3）對滑塊從最高點到C點的過程運用動能定理列式，再對最低點運用向心力公式和牛頓第二定律列式，聯立后求解出彈力的一般表達式，再根據圖象求解出動摩擦因素．

解答：解：（1）如果物塊只在圓軌道上運動，則由動能定理得mgH=

1

2

mv²解得v=

2gH

；
由向心力公式F_N-mg=m

v2

R

，得F_N=m

v2

R

+mg=

2mg

R

H+mg；
結合PQ曲線可知mg=5得m=0.5 kg．
由圖象可知

2mg

R

=10得R=1 m．顯然當H=0.2 m對應圖中的D點，
所以cos θ=

1-0.2

1

=0.8，θ=37°．
（2）如果物塊由斜面上滑下，由動能定理得：mgH-μmgcos θ

(H-0.2)

sinθ

=

1

2

mv²
解得mv²=2mgH-

8

3

μmg（H-0.2）
由向心力公式得FN=m

V2

R

+mg=

2mg- 8 3 μmg

R

H+

1.6

3

μmg+mg
由向心力公式F_N-mg=m

v2

R

得F_N=m

v2

R

+mg=

2mg-\f(8

3

μmg，R)H+

1.6

3

μmg+mg
結合QI曲線知

1.6

3

μmg+mg=5.8，解得μ=0.3．
（3）如果物塊由斜面上滑下到最高點速度為v，
由動能定理得：mg（H-2R）-μmgcos θ

(H-0.2)

sinθ

=

1

2

mv² （1）
設物塊恰能到達最高點：由向心力公式：mg=m

v2

R

               （2）
由（1）（2）式可得：H=15.1m
答：（1）求出小物塊的質量m；圓軌道的半徑R、軌道DC所對應的圓心角θ=37°；
（2）小物塊與斜面AD間的動摩擦因數為0.3．
（3）若要使小物塊能運動到圓軌道的最高點E，則小物塊應從離地面高為15.1m處由靜止釋放．

點評：本題關鍵是對分析清楚滑塊的各個運動過程，然后運用動能定理、機械能守恒定律和向心力公式，結合圖象聯立方程組求解．