Question

有兩個完全相同的小滑塊A和B,A沿光滑水平面以速度v₀與靜止在平面邊緣O點的B發生正碰,碰撞中無機械能損失.碰后B運動的軌跡為OD曲線,如圖所示.

（1）已知小滑塊質量為m,碰撞時間為Δt,求碰撞過程中A對B平均沖力的大小；

（2）為了研究物體從光滑拋物線軌道頂端無初速度下滑的運動,特制做一個與B平拋軌跡完全相同的光滑軌道,并將該軌道固定在與OD曲線重合的位置,讓A沿該軌道無初速下滑（經分析,A下滑過程中不會脫離軌道）.

a.分析A沿軌道下滑到任意一點的動量p_A與B平拋經過該點的動量p_B的大小關系;

b.在OD曲線上有一點M,O和M兩點連線與豎直方向的夾角為45°.求A通過M點時的水平分速度和豎直分速度.

Answer 1

答案   （1）（2）a.pA<pBb.vAx=v0vAy=v0

解析   （1）滑塊A與B正碰,滿足

mvA+mvB=mv0                         ①

mvA2+mvB2=mv02                      ②

由①②,解得vA=0,vB=v0,

根據動量定理,滑塊B滿足F·Δt=mv0

解得F=.

（2）a.設任意點到O點豎直高度差為d.

A、B由O點分別運動至該點過程中,只有重力做功,所以機械能守恒.

選該任意點為勢能零點,有

EkA=mgd,EkB=mgd+mv02

由于p=,有

即pA＜pB

故A下滑到任意一點的動量總是小于B平拋經過該點的動量.

b.以O為原點,建立直角坐標系xOy,x軸正方向水平向右,y軸正方向豎直向下,則對B有x=v0t,y=gt2

B的軌跡方程 y=x2

在M點x=y,所以y=              ③

因為A、B的運動軌跡均為OD曲線,故在任意一點,兩者速度方向相同.設B水平和豎直分速度大小分別為

vBx和vBy,速率為vB;A水平和豎直分速度大小分別為vAx和vAy,速度為vA,則

,                                ④

B做平拋運動,故vBx=v0,vBy=,vB=     ⑤

對A由機械能守恒得vA=                     ⑥

由④⑤⑥得vAx=,vAy=

將③代入得vAx=v0    vAy=v0