Question

【題目】如圖所示是個游樂場地，半徑為的光滑四分之一圓弧軌道與長度為的水平傳送帶平滑連接，傳送帶沿順時針方向勻速運動，速度大小為，傳送帶端靠近傾角為30°的足夠長斜面的底端，二者間通過一小段光滑圓弧（圖中未畫出）平滑連接，滑板與傳送帶和斜面間相對運動時的阻力分別為正壓力的和。某少年踩著滑板從點沿圓弧軌道由靜止滑下，到達點時立即向前跳出。該少年離開滑板后，滑板以的速度返回，少年落到前方傳送帶上隨傳送帶一起勻速運動的相同滑板上，然后一起向前運動，此時滑板與點的距離為。已知少年的質量是滑板質量的9倍，不計滑板的長度以及人和滑板間的作用時間，重力加速度，求：

(1)少年跳離滑板時的速度大小；

(2)少年與滑板到達傳送帶最右側端的速度大小；

(3)少年落到滑板上后至第一次到達斜面最高點所用的時間（結果保留兩位小數）。

Answer 1

【答案】(1) ；(2)；(3)

【解析】

(1)少年與滑板從點沿圓弧下滑到點的過程中機械能守恒，設少年的質量為，滑板的質量為，則，有

少年跳離板的過程中，少年與滑板水平方向動量守恒，根據動量守恒定律有

解得少年跳離滑板時的速度大小

(2)少年跳上滑板的過程中，少年與滑板水平方向的動量守恒，設傳送帶速度為，則有

假設少年與滑板在傳送帶上可以達到與傳送帶相同的速度，對少年與滑板在傳送帶上做勻減速直線運動的過程應用牛頓第二定律有

設此過程中少年與滑板位移為，由運動學公式有

解得

由于

因此假設成立，即少年與滑板在傳送帶上先做勻減速運動，速度與傳送帶速度相同后隨傳送帶一起勻速運動，到達傳送帶最右側端的速度為

(3)設少年與滑板在傳送帶上做勻減速直線運動的時間為，則

設少年與滑板在傳送帶上做勻速直線運動的時間為，則

設少年與滑板沖上斜面后的加速度大小為，根據牛頓第二定律有

設少年與滑板在斜面上向上運動的時間為，則

設少年與滑板在傳送帶和斜面上運動的總時間為，則

解得