Question

（1）物塊A與B發生碰撞。
（2）物塊A與B發生碰撞（設為彈性碰撞）后，物塊B與檔板P發生碰撞。
（3）物塊B與檔板P發生碰撞（設為彈性碰撞）后，物塊B與A在木板C上再發生碰撞。
（4）物塊A從木板C上掉下來。
（5）物塊B從木板C上掉下來。

Answer 1

（1）A與B發生碰撞的條件是：
(2) A與B相撞，B再與P相撞的條件是：
(3)物塊A的初速度 時, 物塊B、A在木板C上不可能再發生碰撞
(4) A從C掉下的條件是：
(5)物塊B從木板C上掉下的條件是：

用m表示A、B和C的質量。
（1）當物塊A以初速度v₀向右運動時，它因受C給它的滑動摩擦力做勻減速直線運動，而它作用于C的摩擦力不足以使B、C產生相對滑動，即B、C以相同加速度做勻加速直線運動。物塊A、B發生碰撞的臨界情況是：物塊A運動到物塊B所在處時，A、B速度相等。
在臨界狀況下，因為B與木板C的速度始終相等，所以A、B即將碰撞時，A、B、C三者速度均相同，設為v₁。由動量守恒定律有
mv₀=3mv₁   ①
在此過程中，設木板C 運動的路程為s₁，則物塊A運動的路程為s₁+L，由功能原理得：
      ②
解①、②得：   
故A與B發生碰撞的條件是： 
（2）當物塊A的初速度時，A、B將發生碰撞，物塊B與檔板P發生碰撞的臨界情況是：物塊B運動到檔板P所在處時，B、C的速度相等。同（1）中結論，在臨界狀況下，當B運動到檔板P處時，A、B、C三者速度相等，設此速度為v₂，根據動量守恒定律得：
mv₀＝3mv₂       ③
設A、B碰撞前瞬間，A、B、C速度分別為v_A、v_B和v_C，則v_A>v_B，v_B=v_C。
在A、B碰撞的極短時間內，A、B構成的系統的動量近似守恒，而木板C的速度保持不變，因為A、B間的碰撞是彈性的，即系統機械能守恒，又物塊A、B質量相等，故易得：碰撞后A、B速度交換，設碰撞剛結束時A、B、C三者的速度分別為v_Aˊ、v_Bˊ、v_Cˊ，則v_Aˊ＝v_B，v_Bˊ＝v_A，v_Cˊ＝v_C，剛碰撞后A、B、C的運動與（1）類似，只是A、B的運動進行了交換，由此易分析：在整個運動過程中，先是A相對C運動的路程為L，接著是B相對C運動的路程為L，整個系統的動能轉變為內能。類似（1）中方程得
      ④     
聯立③、④解之，得：
故A與B相撞，B再與P相撞的條件是：
（3）當物塊A的初速度 時，B將與檔板P相撞，撞后A、B、C的運動可由（2）中運動類比得到：B、P碰撞后瞬間，物塊A、B速度相同，木板C速度最大，然后C以較大的加速度向右做減速運動，而物塊A和B以相同的較小加速度向右做加速運動，加速過程將持續到或者A、B與C速度相同，三者以相同速度向右做勻速運動，或者木塊A從木板C上掉了下來，因此物塊B、A在木板C上不可能再發生碰撞。
(4)若A剛剛沒從木板C上掉下來，即A到達C的左端時的速度變為與C相同，這時三者的速度皆相同，以v₃表示，由動量守恒有
                      3mv₃=mv₀                      ⑤
從A以初速度v₀在木板C的左端開始運動，經過B與P相碰，直到A剛沒從木板C的左端掉下來，這一整個過程中，系統內部先是A相對C運動的路程為L，接著B相對C運動的路程也是L，B與P碰后直到A剛沒從木板C上掉下來，A與B相對C運動的路程也皆為L，整個系統動能的改變應等于內部相互滑動摩擦力做功的代數和。
即：(3m)v₃²-mv₀² =-μmg·4L ⑥
由⑤⑥兩式得：
故A從C掉下的條件是：
（5）當物塊A的初速度時，A將從木板C上掉下來。設A剛從木板C上掉下來時，A、B、C三者的速度分別為v_A″, v_B″, v_C″，有v_A″＝v_B″＜v_C″，這時⑤式應改寫成
mv₀=2m v_A″+mv_C″          ⑦
⑥式應改寫成：  (2m)v_B″²+mv″_C²-mv₀=-μmg·4L    ⑧
當物塊A掉下C后，物塊B從木板C掉下的臨界情況是：當C在左端趕上B時，B與C的速度相等，設此速度為v₄
則由動量守恒定律可得：  mv_B″+ mv_C″＝2mv₄            ⑨
再對B、C系統從A掉下C到B掉下C的過程用動能定律：
(2m)v₄² —（mv″_B²+mv_C″²）= -μmgL    ⑩
聯立⑦⑧⑨⑩，注意到v_A″＝v_B″＜v_C″，可解得：
，，

故物塊B從木板C上掉下的條件是：