Question

【題目】如圖甲，PNQ為豎直放置的半徑為0．1 m的半圓形軌道，在軌道的最低點P和最高點Q各安裝了一個壓力傳感器，可測定小球在軌道內側通過這兩點時對軌道的壓力FP和FQ．軌道的下端與一光滑水平軌道相切，水平軌道上有一質量為0．06 kg的小球A，以不同的初速度v0與靜止在軌道最低點P處稍右側的另一質量為0．04 kg的小球B發生碰撞，碰后形成一整體（記為小球C）以共同速度v沖入PNQ軌道．（A、B、C三小球均可視為質點，g取10 m/s2）

（1）若FP和FQ的關系圖線如圖乙所示，求：當FP＝13 N時所對應的入射小球A的初速度v0為多大？

（2）當FP＝13 N時，AB所組成的系統從A球開始向左運動到整體達到軌道最高點Q全過程中所損失的總機械能為多少？

（3）若軌道PNQ光滑，小球C均能通過Q點．試推導FP隨FQ變化的關系式，并在圖丙中畫出其圖線．

Answer 1

【答案】（1）m/s；（2）0．6 J ；（3）FQ＝FP－6（N），圖像見解析。

【解析】試題分析：小球經過P、Q兩點時，由重力和軌道對小球的支持力的合力提供向心力，AB相碰，滿足動量守恒，根據牛頓第二定律及動量守恒定律列式即可求出速度；先求出AB相碰所損失的機械能，根據動能定理求出從球C從P運動至Q的過程中摩擦力做功，進而求出小球損失的機械能；軌道光滑，小球C由P至Q的過程中機械能守恒，可列出小球經過AC兩點的速度關系，再由牛頓第二定律得到FP隨FQ變化的關系式，畫出圖線。

（1）設A球的質量為M，B球的質量為m，由牛頓第三定律可知，小球在P、Q兩點所受軌道的彈力大小為：NP=FP，NQ=FQ
在P點根據牛頓第二定律可得：

帶入數據解得：

A、B相碰過程中滿足動量守恒：Mv0=（M+m）vP

帶入數據解得：

(2) A、B相碰所損失的機械能：

帶入數據解得：

球C在Q點由牛頓第二定律得：

球C從P運動至Q的過程，根據動能定理得：

聯立并代入數據解得：Wf＝－0.2 J

故球C上升過程中所損失的機械能ΔE2＝0.2 J

故整個系統在全過程中所損失的機械能ΔE＝ΔE1＋ΔE2＝0.6 J　

（3）因軌道光滑，小球C由P至Q的過程中根據動能定理得：

聯立解得：NP－NQ＝6(M＋m)g

即FQ＝FP－6(N)

圖線如圖所示