Question

(20分)一對正、負電子可形成一種壽命比較短的稱為電子偶素的新粒子.電子偶素中的正電子與負電子都以速率v繞它們連線的中點做圓周運動.假定玻爾關于氫原子的理論可用于電子偶素，電子的質量m、速率v和正、負電子間的距離r的乘積也滿足量子化條件.即式中n稱為量子數，可取整數值1，2，3，…；h為普朗克常量.試求電子偶素處在各定態時的r和能量以及第一激發態與基態能量之差.

Answer 1

解析：

正、負電子繞它們連線的中點作半徑為的圓周運動，電子的電荷量為e，正、負電子間的庫侖力是電子作圓周運動所需的向心力，即

　　　　(1)

　　正電子、負電子的動能分別為E_k+和E_k-，有

　　　　(2)

　　正、負電子間相互作用的勢能　　(3)

　　電子偶素的總能量E=E_k++E_k-+E_p　　(4)

　　由(1)、(2)、(3)、(4)各式得

　　　　(5)

　　根據量子化條件，n=1，2，3，…　　(6)

　　(6)式表明，r與量子數n有關.由(1)和(6)式得與量子數n對應的定態r為

　　　　n=1，2，3，…　　(7)

　　代入(5)式得與量子數n對應的定態的E值為

　　　　n=1，2，3，…　　(8)

　　n=1時，電子偶素的能量最小，對應于基態.基態的能量為　　

　　　　(9)

　　n=2是第一激發態，與基態的能量差

　　　　(10)

　　評分標準：(本題20分)

　　(2)式2分、(5)式4分，(7)式、(8)式各5分，(10)式4分.