Question

【題目】如圖所示，虛線小方框是由個電容器聯(lián)成的有限網(wǎng)絡(luò)；虛線大方框是并聯(lián)的兩個相同的無限網(wǎng)絡(luò)，此無限網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)是：從左到中間，每個電容器的右極板與兩個電容器的左極板相連，直至無窮；從中間到右，每兩個電容器的右極板與一個電容器的左極板相連，直至聯(lián)接到一個電容器為止。網(wǎng)絡(luò)中的所有電容器都是完全相同的平行板真空電容器，其極板面積為，極板間距為（）。整個電容網(wǎng)絡(luò)體系與一內(nèi)電阻可忽略不計的電池連接，電池電動勢恒定、大小為。忽略電容器的邊緣效應(yīng)，靜電力常量已知。

（1）若將虛線小方框中標有的電容器的右極板緩慢地向右拉動，使其兩極板的距離變?yōu)?/span>2d，求在拉動極板過程中電池所做的功和外力所做的功。

（2）在電容器a兩極板的距離變?yōu)?/span>后，再將一塊與電容器的極板形狀相同、面積也為、帶電荷量為（）的金屬薄板沿平行于的極板方向全部插入到電容器中，使金屬薄板距電容器左極板的距離為。求此時電容器的左極板所帶的電荷量。

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）虛線小方框內(nèi)2n個平行板電容器每兩個并聯(lián)后再串聯(lián)，其電路的等效電容滿足下式

①

即

②

式中

③

虛線大方框中無限網(wǎng)絡(luò)的等效電容滿足下式

④

即

⑤

整個電容網(wǎng)絡(luò)的等效電容為

⑥

等效電容器帶的電量（即與電池正極連接的電容器極板上電量之和）

⑦

當電容器a兩極板的距離變?yōu)?/span>2d后，2n個平行板電容器聯(lián)成的網(wǎng)絡(luò)的等效電容滿足下式

⑧

由此得

⑨

整個電容網(wǎng)絡(luò)的等效電容為

⑩

整個電容網(wǎng)絡(luò)的等效電容器帶的電荷量為

在電容器a兩極板的距離由d變?yōu)?/span>2d后，等效電容器所帶電荷量的改變?yōu)?/span>

電容器儲能變化為

在此過程中，電池所做的功為

外力所做的功為

（2）設(shè)金屬薄板插入到電容器a后，a的左極板所帶電荷量為，金屬薄板左側(cè)帶電荷量為，右側(cè)帶電荷量為，a的右極板帶電荷量為，與a并聯(lián)的電容器左右兩極板帶電荷量分別為和.由于電容器a和與其并聯(lián)的電容器兩極板電壓相同，所以有

由（2）式和上式得

上式表示電容器a左極板和與其并聯(lián)的電容器左極板所帶電荷量的總和，也是虛線大方框中無限網(wǎng)絡(luò)的等效電容所帶電荷量（即與電池正極連接的電容器的極板上電荷量之和）.

整個電容網(wǎng)絡(luò)兩端的電壓等于電池的電動勢，即

將②、⑤和式代入式得電容器a左極板帶電荷量