Question

【題目】如圖所示，ＡＢ和ＣＤ為兩個(gè)對(duì)稱斜面，其上部足夠長(zhǎng)，下部分分別與一個(gè)光滑的圓弧面的兩端相切，圓弧圓心角為120°，半徑Ｒ＝2.0ｍ，一個(gè)質(zhì)量為ｍ＝1ｋｇ的物體在離弧高度為ｈ＝3.0ｍ處，以初速度4.0ｍ／ｓ沿斜面運(yùn)動(dòng)，若物體與兩斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，重力加速度ｇ＝10ｍ／ｓ2，則

（1）物體在斜面上（不包括圓弧部分）走過(guò)路程的最大值為多少？
（2）試描述物體最終的運(yùn)動(dòng)情況．
（3）物體對(duì)圓弧最低點(diǎn)的最大壓力和最小壓力分別為多少？

Answer 1

【答案】（1）38ｍ（2）物體最終是在Ｂ、Ｃ之間的圓弧上來(lái)回做變速圓周運(yùn)動(dòng)，且在Ｂ、Ｃ點(diǎn)時(shí)速度為零．
（3）Ｎｍａｘ＝54.5Ｎ；Ｎｍｉｎ＝20Ｎ．

【解析】（1）物體在兩斜面上來(lái)回運(yùn)動(dòng)時(shí)，克服摩擦力所做的功Ｗｆ＝μｍｇｃｏｓ60°·ｓ總．

物體從開始直到不再在斜面上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中ｍｇｈ－Ｗｆ＝0－ｍｖ02．解得ｓ總＝38ｍ．

（2）物體最終是在Ｂ、Ｃ之間的圓弧上來(lái)回做變速圓周運(yùn)動(dòng)，且在Ｂ、Ｃ點(diǎn)時(shí)速度為零．

（3）物體第一次通過(guò)圓弧最低點(diǎn)時(shí)，圓弧所受壓力最大．由動(dòng)能定理得

ｍｇ［ｈ＋Ｒ（1－ｃｏｓ60°）］－μｍｇ＝ｍ（ｖ12－ｖ02）

由牛頓第二定律得Ｎｍａｘ－ｍｇ＝，

解得Ｎｍａｘ＝54.5Ｎ．

物體最終在圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓弧所受壓力最小．由動(dòng)能定理得

ｍｇＲ（1－ｃｏｓ60°）＝ ｍｖ22

由牛頓第二定律得Ｎｍｉｎ－ｍｇ＝ 解得Ｎｍｉｎ＝20Ｎ．