Question

【題目】根據(jù)玻爾理論，電子繞氫原子核運(yùn)動(dòng)可以看作是僅在庫(kù)侖引力作用下的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知普朗克常數(shù)h，真空中光速為c，電子的電荷量為e，質(zhì)量為m，電子在第1軌道運(yùn)動(dòng)的半徑為r1，靜電力常量為k.

氫原子在不同的能量狀態(tài)，對(duì)應(yīng)著電子在不同的軌道上繞核做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑滿(mǎn)足rn=n2r1，其中n為量子數(shù)，即軌道序號(hào)，rn為電子處于第n軌道時(shí)的軌道半徑。電子在第n軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量En為電子動(dòng)能與“電子-原子核”這個(gè)系統(tǒng)電勢(shì)能的總和。理論證明，系統(tǒng)的電勢(shì)能Ep和電子繞氫原子核做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r存在關(guān)系：Ep=-k（以無(wú)窮遠(yuǎn)為電勢(shì)能零點(diǎn)）。請(qǐng)根據(jù)以上條件完成下面的問(wèn)題。

①試證明電子在第n軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量En和電子在第1軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量E1滿(mǎn)足關(guān)系式

②假設(shè)氫原子甲核外做圓周運(yùn)動(dòng)的電子從第2軌道躍遷到第1軌道的過(guò)程中所釋放的能量，恰好被量子數(shù)n=4的氫原子乙吸收并使其電離，即其核外在第4軌道做圓周運(yùn)動(dòng)的電子脫離氫原子核的作用范圍。不考慮電離前后原子核的動(dòng)能改變，試求氫原子乙電離后電子的動(dòng)能。

③氫原子光譜中巴耳末系的譜線(xiàn)波長(zhǎng)公式為： ，n = 3、4、5…，請(qǐng)根據(jù)玻爾理論推導(dǎo)巴耳末公式并確定里德堡常數(shù)R的表達(dá)式。

Answer 1

【答案】①②③

【解析】①設(shè)電子在第n軌道上運(yùn)動(dòng)的速度大小為，根據(jù)牛頓第二定律有

電子在第n軌道運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能

電子在第n軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量

又因?yàn)?/span>

則有其中命題得證。

②由①可知，電子從第2軌道躍遷到第1軌道所釋放的能量

電子在第4軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)氫原子的能量

設(shè)氫原子電離后電子具有的動(dòng)能為Ek，根據(jù)能量守恒有

解得

③玻爾理論認(rèn)為巴耳末系為氫原子從n=3、4、5…，等能級(jí)向n=2的能級(jí)躍遷時(shí)發(fā)出的光，根據(jù)玻爾躍遷假設(shè)可知即

所以n=3、4、5…，

對(duì)照巴耳末公式可知里德堡常數(shù)