Question

均勻導線制成的單位正方形閉合線框abcd，每邊長為L，總電阻為R，總質量為m．將其置于磁感強度為B的水平勻強磁場上方h處，如圖所示．線框由靜止自由下落，線框平面保持在豎直平面內，且cd邊始終與水平的磁場邊界平行．重力加速度為g．當cd邊剛進入磁場時，
（1）求線框中產生的感應電動勢大小；
（2）求cd兩點間的電勢差大小；
（3）若此時線框加速度大小恰好為g/4，求線框下落的高度h應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）線框先自由下落，由高度h求得速度v，由E=BLv求解感應電動勢的大小．
（2）cd兩點間的電勢差大小等于外電壓，等于

3

4

E．
（3）若此時線框加速度恰好為

3

4

g，根據牛頓第二定律求出安培力，由安培力的表達式求出高度，分析加速度方向向下和向上兩種情況討論．

解答：解：（1）設cd邊剛進入磁場時，線框的速度為v，由機械能守恒定律得
    mgh=

1

2

mv2
由法拉第電磁感應定律得 E=BLv
綜合上述兩式解得感應電動勢為 E=BL

2gh

（2）由閉合電路歐姆定律得到此時線框中電流
   I=

E

R

cd兩點間的電勢差
U=I?

3

4

R=

3

4

BL

2gh

（3）由安培力公式得
F=BIL=

B2L2 2gh

R

當a=

1

4

g，方向向下時，根據牛頓第二定律
  mg-F=ma
解得下落高度滿足h=

9m2gR2

32B4L4

當a=

1

4

g，方向向上時，根據牛頓第二定律
  F-mg=ma
解得下落高度滿足 h=

25m2gR2

32B4L4

答：
（1）線框中產生的感應電動勢大小是BL

2gh

；
（2）cd兩點間的電勢差大小是

3

4

BL

2gh

；
（3）若此時線框加速度大小恰好為a=

1

4

g，當a=

1

4

g，方向向下時，下落高度滿足h=

9m2gR2

32B4L4

；當a=

1

4

g，方向向上時，下落高度滿足 h=

25m2gR2

32B4L4

．

點評：本題中cd間電勢差是路端電壓，不是電源的內電壓．對于安培力經常用到的經驗公式是：F=

B2L2v

R+r

．