Question

1997年8月26日在日本舉行的國際學術(shù)大會上，德國Max Planck學會的一個研究組宣布了他們的研究結(jié)果：銀河系的中心可能存在一個大“黑洞”．所謂“黑洞”，它是某些天體的最后演變結(jié)果．?
（1）根據(jù)長期觀測發(fā)現(xiàn)，距離某“黑洞”6.0×10¹² m的另一個星體（設其質(zhì)量為m）以2×10⁶ m/s的速度繞“黑洞”旋轉(zhuǎn)，求該“黑洞”的質(zhì)量M；（結(jié)果要求二位有效數(shù)字）?
（2）根據(jù)天體物理學知識，物體從某天體上的逃逸速度公式為v=

2GM R

，其中引力常量G=6.67×10^-11 N?m²/kg^-2，M為天體質(zhì)量，R為天體半徑．且已知逃逸速度大于真空中光速的天體叫“黑洞”．請估算（1）中“黑洞”的可能最大半徑．（結(jié)果只要求一位有效數(shù)字）?

Answer 1

分析：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合速度和軌道半徑求出“黑洞”的質(zhì)量．
（2）根據(jù)逃逸速度大于光速，求出“黑洞”的最大半徑，注意結(jié)果有效數(shù)字的計算．

解答：解：（1）設“黑洞”質(zhì)量為M，天體質(zhì)量為m，它們之間的距離為r，根據(jù)萬有引力等于向心力，有?

GMm

r2

=m

v2

r

，?
M=

v2r

G

=

(2×106)2×6.0×1012

6.67×10-11

kg=3.6×10³⁵ kg．?
（2）設“黑洞”的可能半徑為R，質(zhì)量為M，依題意，須滿足?

2GM R

＞c，即有R＜

2GM c2

，?
所以“黑洞”的可能最大半徑?
R_max=

2×6.67×10-11×3.6×1035

(3×108)2

m=5×10⁸ m．?
也可由    GM=v²?r，?
得      R_max=

2v2r

c2

，?
所以  R_max=

2(2×106)2×6.0×1012

(3.00×108)2

m=5×10⁸ m．?
答：（1）該“黑洞”的質(zhì)量為3.6×10³⁵ kg．
（2）“黑洞”的可能最大半徑為5×10⁸ m．?

點評：解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力這一理論，并能靈活運用，計算時注意有效數(shù)字的保留．