Question

如圖所示，在豎直向下，場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，長(zhǎng)為l的絕緣輕桿可繞固定軸O在豎直面內(nèi)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)小球A、B固定于桿的兩端，A、B的質(zhì)量分別為m₁和m₂（m₁＜m₂），A帶負(fù)電，電量為q₁，B帶正電，電量為q₂．桿從靜止開(kāi)始由水平位置轉(zhuǎn)到豎直位置，求：
（1）在此過(guò)程中電場(chǎng)力所做的功為多少？
（2）在豎直位置處兩球的總動(dòng)能為多少？
若將輕桿彎折成如圖所示的“Γ”形，兩邊互相垂直、長(zhǎng)度均為

1

2

，兩端各固定一個(gè)金屬小球A、B，在豎直向下，場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，可繞過(guò)O點(diǎn)的水平軸在豎直平面內(nèi)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)．已知A球質(zhì)量m₁=m，電量為+q，B球質(zhì)量m₂=7m/2，B球也帶負(fù)電，電量為-q．現(xiàn)將“Γ”形桿從OB位于水平位置由靜止釋放，求：
（3）OB桿能轉(zhuǎn)過(guò)的最大角度為127°，則該電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為多少？
（4）當(dāng)兩球的速度達(dá)到最大時(shí)，OB桿轉(zhuǎn)過(guò)的角度為多大？

Answer 1

（1）因?yàn)闂U及AB受力的合力矩為順時(shí)針，所以系統(tǒng)沿順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到豎直位置，電場(chǎng)力對(duì)A和B都做正功，電場(chǎng)力對(duì)A、B做總功為：
W_E=q₂E×

L

2

+q₁E×

L

2

=

1

2

（q₁+q₂）EL，
（2）在此過(guò)程中重力對(duì)A做正功，對(duì)B做負(fù)功，W_G=m₂g×

L

2

-m₁g×

L

2

=

1

2

（m₂-m₁）gL，
設(shè)兩球總動(dòng)能為E_k，由用動(dòng)能定理得：
E_k-0=W_E+W_G=

1

2

（q₁E+q₂E+m₂g-m₁g）L，
（3）從OB位于水平位置由靜止釋放到OB桿能轉(zhuǎn)過(guò)的角度為127°，根據(jù)動(dòng)能定理列出等式
3.5mg×0.8×

1

2

L-mg×1.6×

1

2

L-qE×0.8×

1

2

L-qE×1.6×

1

2

L=0-0=0
解得：E=

mg

2q

（4）速度達(dá)到最大時(shí)力矩平衡，設(shè)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ，根據(jù)力矩平衡方程得
（qE+mg）sinθ=（3.5mg-qE）cosθ，
解得tanθ=2，即OB桿轉(zhuǎn)過(guò)的角度的正切值是2．
答：（1）在此過(guò)程中電場(chǎng)力所做的功為

1

2

（q₁+q₂）EL
（2）在豎直位置處兩球的總動(dòng)能為

1

2

（q₁E+q₂E+m₂g-m₁g）L，
（3）OB桿能轉(zhuǎn)過(guò)的最大角度為127°，則該電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為

mg

2q

（4）OB桿轉(zhuǎn)過(guò)的角度的正切值是2．