Question

一傾角為的斜面固定于地面，斜面頂端離地面的高度h₀=1m，斜面底端有一垂直于斜面的固定擋板。在斜面頂端自由釋放一質量m=0.09kg的小物塊（視為質點）。小物塊與斜面之間的動摩擦因數u=0.2。當小物塊與擋板碰撞后，將以原速返回。重力加速度g=10 m/s²。在小物塊與擋板的前4次碰撞過程中，擋板給予小物塊的總沖量是多少？

Answer 1

解法一：設小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運動，到達斜面底端時速度為v。由功能關系得

                     ①

以沿斜面向上為動量的正方向。按動量定理，碰撞過程中擋板給小物塊的沖量

                                   ②

設碰撞后小物塊所能達到的最大高度為，則

                    ③

同理，有

                   ④

                                 ⑤

式中，為小物塊再次到達斜面底端時的速度，為再次碰撞過程中擋板給小物塊的沖量。由①②③④⑤式得

                                          ⑥

式中

                                   ⑦

由此可知，小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級數，首項為

                         ⑧

總沖量為

              ⑨

由

                        ⑩

得

                   

代入數據得

    I=0.4(3+)N·s                         

解法二：設小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運動，小物塊受到重力，斜面對它的摩擦力和支持力，小物塊向下運動的加速度為a，依牛頓第二定律得

                         ①

設小物塊與擋板碰撞前的速度為v，則

                                     ②

以沿斜面向上為動量的正方向。按動量定理，碰撞過程中擋板給小物塊的沖量為

                                   ③

由①②③式得

                           ④

設小物塊碰撞后沿斜面向上運動的加速度大小為，依牛頓第二定律有

mgsin+umgcos= m                            ⑤

小物塊沿斜面向上運動的最大高度為

                                          ⑥

由②⑤⑥式得

h′=k²h                                                               ⑦

式中

                                                                                     ⑧同理，小物塊再次與擋板碰撞所獲得的沖量

I′=2m                                                              ⑨

由④⑦⑨式得

I′=kI                                                       ⑩

由此可知，小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級數，首項為

I₁=2m                                     

總沖量為

               I=I₁+ I₂ +I₃+I₄= I₁（1+k+k²+ k³）                                 

由

 1+k+k²+…+k^n-1=                                 

得

                              

代入數據得

       I=0.4(3+)N·s