Question

【題目】如圖所示，傾斜軌道底端用一小段圓弧與水平面平滑連接，上端與半徑為R=0.5 m的圓管形軌道相切于P點(diǎn)，圓管頂端開(kāi)口水平，距離水平面的高度為R。質(zhì)量為m=0.2 kg的小球B靜止在斜面的底端。另有質(zhì)量相同的小球A以初速度v0=5 m/s沿水平面向右運(yùn)動(dòng)，并與小球B發(fā)生彈性碰撞，不考慮一切摩擦，重力加速度g取10 m/s2。

(1)求小球B被碰后的速度大小；

(2)求小球B到達(dá)圓管形軌道最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小和方向；

(3)若保持小球A的初速度不變，增加其質(zhì)量，則小球B從軌道的最高點(diǎn)拋出后，求小球B的落地點(diǎn)到O點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離不會(huì)超過(guò)多少。

Answer 1

【答案】(1) 5 m/s (2) 向上的壓力，大小為4 N (3) 不會(huì)超過(guò)3 m

【解析】

(1)設(shè)A、B兩球碰撞后的速度分別為v1、v2，A、B兩球發(fā)生彈性碰撞，由動(dòng)量守恒定律得mv0=mv1＋mv2

由能量守恒定律得

聯(lián)立解得v1=0、v2=v0=5 m/s

(2)A、B兩小球碰撞后，設(shè)小球B沿軌道上升到最高點(diǎn)的速度為v，則有動(dòng)能定理得

－mgR=mv2－

在圓管形軌道的最高點(diǎn)，設(shè)軌道對(duì)小球的支持力為FN，由牛頓第二定律可得mg－FN=m

聯(lián)立解得FN=－4 N

負(fù)號(hào)說(shuō)明圓管形軌道對(duì)小球有向下的壓力，根據(jù)牛頓第三定律可得，小球在最高點(diǎn)對(duì)軌道有向上的壓力，大小為4 N

(3)設(shè)小球A的質(zhì)量為M，則由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律有Mv0=Mv3＋mv4

聯(lián)立解得v4=v0

當(dāng)小球A的質(zhì)量M無(wú)限增加時(shí)，碰撞后小球B的速度都不會(huì)超過(guò)2v0

設(shè)小球B到達(dá)軌道最高點(diǎn)的速度為v′，則有－mgR=mv′2－m(2v0)2

解得v′=3 m/s

由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有R=gt2，xm=v′t

聯(lián)立解得xm=3 m

所以小球B從軌道的最高點(diǎn)拋出后，落地點(diǎn)到O點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離不會(huì)超過(guò)3 m