Question

磁流體動力發電機的原理如圖所示，一個水平放置的上下、前后封閉的橫截面為矩形的塑料管，其寬度為l，高度為h，管內充滿電阻率為ρ的某種導電流體(如水銀)。矩形塑料管的兩端接有渦輪機，由渦輪機提供動力使流體通過管道時具有恒定的水平向右的流速v₀。管道的前、后兩個側面上各有長為d的相互平行且正對的銅板M和N。實際流體的運動非常復雜，為簡化起見作如下假設：①垂直流動方向橫截面上各處流體的速度相同；②流體不可壓縮。

(1)若在兩個銅板M、N之間的區域加有豎直向上、磁感應強度為B的勻強磁場，則當流體以穩定的速度v₀流過時，兩銅板M、N之間將產生電勢差。求此電勢差的大小，并判斷M、N兩板哪個電勢較高；

(2)用電阻可忽略不計的導線將銅板M、N外側相連接，由于此時磁場對流體有力的作用，使流體的穩定流速變為v(v＜v₀)，求磁場對流體的作用力；

(3)為使流體的流速增加到原來的值v₀，渦輪機提供動力的功率必須增加，假設流體在流動過程中所受的阻力與它的流速成正比，試推導出新增加功率的表達式。

Answer 1

(1)由法拉第電磁感應定律，兩銅板間的電勢差U=E=Blv₀

由右手定則可判斷出M板的電勢較高

(2)用電阻可忽略不計的導線將銅板M、N外側相連接，即銅板由外側短路后，M、N兩板間的電動勢E=Blv

短路電流I=E／R_內      R_內=ρ

磁場對流體的作用力F=BIl

解得：F=

方向與v方向相反(或水平向左)

(3)設流體在流動過程中所受‘的阻力與流速的比例系數為k，所以在外電路未短路時流體以穩定速度v₀流過，此時流體所受的阻力(即渦輪機所提供的動力)

F₀=kv₀

此時渦輪機提供的功率P₀=F₀v₀=k

外電路短路后，流體仍以穩定速度v₀流過時，設此時磁場對流體的作用力為F_磁，根據第(2)問的結果可知

F_磁=

此時渦輪機提供的動力F₁=F₀+F_磁=kv₀+

此時渦輪機提供的功率P_t=F_tv₀=k+

所以新增加功率△P=P₁-P₀= 。

說明：第(3)問如果采用如下做法也得6分：

外電路沒有接通，流體以穩定速度v₀流過時，磁場對流體無作用力；外電路短路后，流體仍以穩定速度v₀流過，設此時磁場對流體的作用力為F_磁，外接渦輪機必須增加壓力F用以平衡F_磁，即F=F_磁

根據第(2)問的結果可知F_磁=

此時渦輪機新增加的功率△P=Fv₀=