Question

如圖（a）所示，輪軸的輪半徑為2r，軸半徑為r，它可以繞垂直于紙面的光滑水平軸O轉動，圖（b）為輪軸的側視圖．輪上繞有細線，線下端系一質量為M的重物，軸上也繞有細線，線下端系一質量為m的金屬桿．在豎直平面內有間距為L的足夠長平行金屬導軌PQ、MN，在QN之間連接有阻值為R的電阻，其余電阻不計．磁感強度為B的勻強磁場與導軌平面垂直．開始時金屬桿置于導軌下端，將重物由靜止釋放，重物最終能勻速下降，運動過程中金屬桿始終與導軌接觸良好．
（1）重物M勻速下降的速度v多大？
（2）對一定的B，取不同的M，測出相應的M作勻速運動時的v值，得到實驗圖線如圖（c），實驗中電阻R=0.1Ω，L=1m，則實驗中m和B的值分別為多大？

Answer 1

分析：（1）首先根據輪軸原理，得出M與金屬桿的速度關系．重物最終勻速下降，重力勢能減小，金屬桿勻速上升，重力勢能增加，整個系統重力勢能減小轉化為電能，根據能量守恒定律列式，求解重物M勻速下降的速度．
（2）根據第1題v的表達式，分析v-M圖象的斜率，結合圖象求出橫軸的截距和斜率，即可得到m和B．

解答：解：（1）設勻速運動時M的速度為v=v₁，m的速度為v₂，有：
v₁=2v₂ …①
桿所受的安培力：F=BIL…②
回路中的感應電流為：=

E

R

…③
桿產生的感應電動勢為：E=BLv₂…④
則得：F=

B2L2v2

R

…⑤
根據能量守恒定律有：
Mgv₁=（F+mg）v₂…⑥
聯立①⑤⑥解得：v₁=v=

2(2M-m)gR

B2L2

即：v=

4MgR

B2L2

-

2mgR

B2L2

…⑦
（2）圖上當v=0時，M=2kg，所以有：m=2M=4kg…⑧
由圖得：

4gR

B2L2

=

16

10

…⑨
代入數據得：B=

10

2

T…⑩
答：（1）重物M勻速下降的速度v為

4MgR

B2L2

-

2mgR

B2L2

．
（2）對一定的B，取不同的M，測出相應的M作勻速運動時的v值，得到實驗圖線如圖（c），實驗中電阻R=0.1Ω，L=1m，則實驗中m和B的值分別為4kg，

10

2

T．

點評：本題中運用F=BIL、I=

E

R

、E=BLv推導安培力的表達式是求解的關鍵步驟，再運用數學知識分析圖象的信息，得到B₁和B₂的比值，中等難度．