Question

【題目】(2016全國卷Ⅱ，25) 輕質彈簧原長為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質量為5m的物體由靜止釋放，當彈簧被壓縮到最短時，彈簧長度為l。現將該彈簧水平放置，一端固定在A點，另一端與物塊P接觸但不連接。AB是長度為5l的水平軌道，B端與半徑為l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖所示。物塊P與AB間的動摩擦因數μ＝0.5。用外力推動物塊P，將彈簧壓縮至長度l，然后放開P開始沿軌道運動，重力加速度大小為g。

(1)若P的質量為m，求P到達B點時速度的大小，以及它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點之間的距離；

(2)若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P的質量的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1) 2l (2) m≤M<m

【解析】(1)依題意，當彈簧豎直放置，長度被壓縮至l時，質量為5m的物體的動能為零，其重力勢能轉化為彈簧的彈性勢能。由機械能守恒定律知，彈簧長度為l時的彈性勢能為

Ep＝5mgl①

設P到達B點時的速度大小為vB，由能量守恒定律得

Ep＝mv＋μmg(5l－l)②

聯立①②式，并代入題給數據得

vB＝③

若P能沿圓軌道運動到D點，其到達D點時的向心力不能小于重力，即P此時的速度大小v應滿足

－mg≥0④

設P滑到D點時的速度為vD，由機械能守恒定律得

mv＝mv＋mg·2l⑤

聯立③⑤式得vD＝⑥

vD滿足④式要求，故P能運動到D點，并從D點以速度vD水平射出。設P落回到軌道AB所需的時間為t，由運動學公式得

2l＝gt2⑦

P落回到AB上的位置與B點之間的距離為s＝vDt⑧

聯立⑥⑦⑧式得

s＝2l⑨

(2)設P的質量為M，為使P能滑上圓軌道，它到達B點時的速度不能小于零。由①②式可知

5mgl>μMg·4l⑩

要使P仍能沿圓軌道滑回，P在圓軌道的上升高度不能超過半圓軌道的中點C。由機械能守恒定律有

MvB′2≤Mgl

Ep＝MvB′2＋μMg·4l

聯立①⑩式得

m≤M<m