Question

（2011?海淀區一模）如圖所示，一個物塊A（可看成質點）放在足夠長的平板小車B的右端，A、B一起以v₀的水平初速度沿光滑水平面向左滑行．左邊有一固定的豎直墻壁，小車B與墻壁相碰，碰撞時間極短，且碰撞前、后無動能損失．已知物塊A與小車B的水平上表面間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g．
（1）若A、B的質量均為m，求小車與墻壁碰撞后的運動過程中，物塊A所受摩擦力的沖量大小和方向；
（2）若A、B的質量比為k，且k＜1，求物塊A在小車B上發生相對運動的過程中物塊A對地的位移大小；
（3）若A、B的質量比為k，且k=2，求小車第一次與墻壁碰撞后的運動過程所經歷的總時間．

Answer 1

分析：（1）碰后動量守恒，根據動量守恒和動量定理列方程可求得結果．
（2）碰后A、B作用過程中系統動量守恒，最終AB速度相同，根據動量守恒和能量守恒列方程可正確解答．
（3）分析清楚運動狀態，由于摩擦的存在，經B與墻壁多次碰撞后最終A、B一起停在墻角，每次碰后系統動量守恒，根據動量守恒、功能關系列方程求出每次碰撞后運動時間，然后找出規律，利用數學知識求解即可．

解答：解：（1）設小車B與墻碰撞后物塊A與小車B所達到的共同速度大小為v，設向右為正方向，則由動量守恒定律得：
    mv₀-mv₀=2mv
解得：v=0．
對物塊A，由動量定理得摩擦力對物塊A的沖量：I=0-（-mv₀）=mv₀，沖量方向水平向右．
故物塊A所受摩擦力的沖量大小為I=mv₀，方向水平向右．
（2）設A和B的質量分別為km和m，小車B與墻碰撞后物塊A與小車B所達到的共同速度大小為v′，木塊A的位移大小為s．設向右為正方向，則由動量守恒定律得：則
mv₀-kmv₀=（m+km）v′
解得：v′=

1-k

1+k

v0
對木塊A由動能定理得：
 -μkmgs=

1

2

kmv′2-

1

2

km

v

2 0

代入數據解得：s=

2k v 2 0

μg(1+k)2

．
故物塊A在小車B上發生相對運動的過程中物塊A對地的位移大小為：s=

2k v 2 0

μg(1+k)2

．
（3）當k=2時，根據題意由于摩擦的存在，經B與墻壁多次碰撞后最終A、B一起停在墻角．A與B發生相對運動的時間t₀可等效為A一直做勻減速運動到速度等于0的時間，在A與B發生相對滑動的整個過程，對A應用動量定理：-2mgμt₀=0-2mv₀
解得時間：t0=

v0

μg

，
設第1次碰后A、B達到的共同速度為v₁，B碰墻后，A、B組成的系統，沒有外力作用，水平方向動量守恒，設水平向右為正方向，由動量守恒定律，得：
mv₀-2mv₀=（2m+m）v₁
即：v1=-

1

3

v0（負號表示v₁的方向向左）
第1次碰后小車B向左勻速運動的位移等于向右勻減速運動到速度大小為v₁這段運動的位移s₁
對小車B，由動能定理得-μ2mgs₁=

1

2

mv₁²-

1

2

mv₀²
解得：s₁=

2 v 2 0

9μg

第1次碰后小車B向左勻速運動時間：t1=

s1

v1

=

2v0

3μg

設第2次碰后共速為v₂，由動量守恒定律，得：mv₁-2mv₁=（2m+m）v₂
即：v2=

1

3

v1=-

1

32

v0
第2次碰后小車B向左勻速運動的位移等于向右勻減速運動到速度大小為v₂這段運動的位移s₂，對小車B，由動能定理得：
-μ2mgs₂=

1

2

m v₂²-

1

2

mv₁²
解得：s₂=

1

92

?

2 v 2 0

μg

第2次碰后小車B向左勻速運動時間：t2=

s2

v2

=

2v0

32μg

同理，設第3次碰后共速為v₃，碰后小車B向左勻速運動的位移為s₃，則由動量守恒定律，得：v3=

1

3

v2=-

1

33

v0
s₃=

1

93

?

2 v 2 0

μg

第3次碰后小車B向左勻速運動時間：t3=

s3

v3

=

2v0

33μg

由此類推，第n次碰墻后小車B向左勻速運動時間：tn=

2v0

3nμg

．
第1次碰墻后小車B向左勻速運動時間即B從第一次撞墻后每次向左勻速運動時間為首項為t₁，末項為t_n，公比為

1

3

的無窮等比數列．即B從第一次與墻壁碰撞后勻速運動的總時間t勻=t1+t2+t3+…+tn=

v0

μg

故從第一次B與墻壁碰撞后運動的總時間：t總=t0+t勻=

2v0

μg

．

點評：本題全面考查了動量守恒和功能關系的應用，尤其是第（3）問，要通過關系式找出規律，考查了學生應用數學知識解決物理問題的能力．