Question

足夠長且電阻不計的金屬光滑導軌MN、PQ水平放置，導軌間距為d，M、P兩點間接有阻值為R的電阻，建立平面直角坐標系，坐標軸x，y分別與PQ、PM重合，如圖所示．空間存在垂直導軌平面且范圍足夠大的磁場，磁場沿x軸的分布規律為B=B0sin(

2π

λ

x)，其中B₀、l 為常數，以豎直向下方向為B 的正方向．一根電阻不計的導體棒AB垂直導軌放置，在與棒垂直的水平外力F的作用下從非常靠近y軸的位置以速度v 勻速向x 軸的正方向運動，運動過程中，棒始終與導軌垂直．求：
（1）導體棒運動到哪些位置，回路中的電流達到最大值；
（2）外力隨時間t的變化關系；
（3）導體棒發生上個λ的位移過程中，電阻R上產生的焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）導體棒勻速運動切割磁感線產生的感應電動勢E=Bdv，由歐姆定律I=

E

R

可得到電流的表達式，即可求得電流達到最大值時的位置．
（2）棒所受的安培力 F_安=BId，因導體棒做勻速運動，外力與安培力平衡，可求得外力的表達式．
（3）當導體棒發生上個λ的位移過程中，交流電變化了一個周期，產生的焦耳熱由焦耳定律求出，要注意用電流的有效值求解．

解答：解：（1）導體棒切割磁感線產生的感應電動勢為E=Bdv
感應電流為 I=

E

R

=

Bdv

R

=

B0dvsin( 2π λ x)

R

則知 電流最大時導體棒的位置坐標為 x=

2n-1

4

λ（n=1，2，3…）．
（2）導體棒所受的安培力 F_安=BId 
導體棒做勻速運動，外力與安培力平衡，則有 F=F_安=BId
 又 x=vt 
聯立得 F=

vd2

R

B

2 0

sin2(

2π

λ

vt)
（3）由I=

dv

R

B0sin

2π

λ

vt，可知該交流電為正弦交流電，則在導體棒發生一個λ的位移過程中，交流電變化了一個周期．產生的焦耳熱為：
  Q=[

dv R B0

2

]²R?

λ

v

=

d2 B 2 0 vλ

2R

答：
（1）導體棒運動到位置坐標為 x=

2n-1

4

λ（n=1，2，3…）時，回路中的電流達到最大值；
（2）外力隨時間t的變化關系為F=

vd2

R

B

2 0

sin2(

2π

λ

vt)．
（3）導體棒發生上個λ的位移過程中，電阻R上產生的焦耳熱是

d2 B 2 0 vλ

2R

．

點評：本題是產生正弦式交變電流的一種方式，運用法拉第定律、歐姆定律、安培力公式結合進行求解．中檔題．